Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada de uma curva vetorial . Isso envolve entender como derivar cada componente da função vetorial. Para resolver isso, vamos precisar das regras de derivação básicas, como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar derivando a componente na direção . A função é . Para derivar essa fração, usamos a Regra do Quociente, que diz que a derivada de é .
Então, identificamos:
  • e
  • e
Aplicando a regra:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada da componente fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar a componente na direção , que é . Aqui usamos a Regra da Cadeia, que é útil para funções compostas.
A derivada de em relação a é . Então, definimos:
  • e
Aplicando a regra:

Passo 4

Por último, vamos derivar a componente na direção , que é . A derivada de é , então:

Resposta

A derivada da curva é:

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