2,0 Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:
F(t) = tg(t^2 + 3) i + (t^2 + 1) cos(t) j + 3 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos calcular a derivada de uma curva vetorial. A função que nos foi dada é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar cada componente vetorial em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial é a derivada de cada uma das suas componentes. Ou seja, se temos:
Então:

Passo 3

Vamos começar derivando a componente . A derivada da tangente é:
Aqui, , então . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos derivar a componente . Aqui temos um produto de duas funções: e . A regra do produto diz que:
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 5

Por fim, a componente é uma constante. A derivada de uma constante é zero:

Resposta

Juntando todas as derivadas das componentes, temos:

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