(2,0) Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função dada por
f(x, y)=rr x^2 y^3+x^2 yx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes. Para todo ponto que não seja , a função é uma fração com polinômios no numerador e no denominador. Já no ponto , a função vale zero. O nosso objetivo aqui é descobrir em quais pontos essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso para funções de duas variais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor que ela assume no ponto. No caso da nossa função , ela já está definida de forma diferente em , então precisamos verificar a continuidade nesse ponto específico. Para todos os outros pontos , a função é uma razão de polinômios, e polinômios são contínuos em todo lugar onde o denominador não é zero. Como o denominador aqui é , que só é zero quando e , a função é contínua em todos os pontos .

Passo 3

Agora, o grande ponto é verificar a continuidade no ponto f(x, y) = x^2 y^3 + x^2 yx^2 + y^2 = (r^2 cos^2theta)(r^3 sin^3theta) + (r^2 cos^2theta)(r sintheta)r^2 = r^5 cos^2theta sin^3theta + r^3 cos^2theta sinthetar^2 . Para isso, vamos calcular o limite de f(x, y) = r^3 cos^2theta sin^3theta + r cos^2theta sintheta quando se aproxima de e ver se ele é igual ao valor que a função assume nesse ponto, que é zero. Uma boa maneira de fazer isso é usando coordenadas polares, onde e , e tende a zero.
Substituindo na função:
Dividindo tudo por :
Agora, quando tende a zero, ambos os termos e também tendem a zero, independentemente do valor de . Portanto, o limite de quando se aproxima de é zero.

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade da função é todo o plano real . Ou seja, é contínua para todos os pontos no plano.

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