Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes. Para todo ponto que **não** seja , a função é uma fração com polinômios no numerador e no denominador. Já no ponto , a função vale zero. O nosso objetivo aqui é descobrir em quais pontos essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso para funções de duas variais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor que ela assume no ponto. No caso da nossa função , ela já está definida de forma diferente em , então precisamos verificar a continuidade nesse ponto específico. Para todos os outros pontos , a função é uma razão de polinômios, e polinômios são contínuos em todo lugar onde o denominador não é zero. Como o denominador aqui é , que só é zero quando e , a função é contínua em todos os pontos .
Passo 3
Agora, o grande ponto é verificar a continuidade no ponto . Para isso, vamos calcular o **limite** de quando se aproxima de e ver se ele é igual ao valor que a função assume nesse ponto, que é zero. Uma boa maneira de fazer isso é usando coordenadas polares, onde e , e tende a zero.
Substituindo na função:
Dividindo tudo por :
Agora, quando tende a zero, ambos os termos e também tendem a zero, independentemente do valor de . Portanto, o limite de quando se aproxima de é zero.
Resposta
O conjunto dos pontos de continuidade da função é todo o plano real . Ou seja, é contínua para todos os pontos no plano.