Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida de duas maneiras diferentes. Para todo ponto
que não seja
, a função é uma fração com polinômios no numerador e no denominador. Já no ponto
, a função vale zero. O nosso objetivo aqui é descobrir em quais pontos essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso para funções de duas variais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor que ela assume no ponto. No caso da nossa função
, ela já está definida de forma diferente em
, então precisamos verificar a continuidade nesse ponto específico. Para todos os outros pontos
, a função é uma razão de polinômios, e polinômios são contínuos em todo lugar onde o denominador não é zero. Como o denominador aqui é
, que só é zero quando
e
, a função é contínua em todos os pontos
.
Passo 3
Agora, o grande ponto é verificar a continuidade no ponto
. Para isso, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se ele é igual ao valor que a função assume nesse ponto, que é zero. Uma boa maneira de fazer isso é usando coordenadas polares, onde
e
, e
tende a zero.
Substituindo na função:
Dividindo tudo por
:
Agora, quando
tende a zero, ambos os termos
e
também tendem a zero, independentemente do valor de
. Portanto, o limite de
quando
se aproxima de
é zero.
Resposta
O conjunto dos pontos de continuidade da função
é todo o plano real
. Ou seja,
é contínua para todos os pontos
no plano.