Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar a derivada da curva . Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para cada componente da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a componente na direção de , que é . Como temos uma divisão de duas funções de , vamos usar a Regra do Quociente. A regra do quociente diz que se temos , a derivada é .
Então, seja e .
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra:

Passo 3

Agora, vamos derivar a componente na direção de , que é . Aqui, vamos usar a Regra da Cadeia, que é útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função.
Seja , onde .
A derivada de em relação a é:
Calculando :
Então,

Passo 4

Por último, vamos derivar a componente na direção de , que é . Aqui, usamos a Regra da Constante multiplicada pela derivada da função.
Sabemos que .
Então,

Resposta

A derivada da curva é:

Exercícios relacionados

Considerando que algumas EDOs podem envolver funções com integrais não elementares, resolva os problemas de valor inicial abaixo:
(a)
Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(i)
Considere uma lagoa que contém, inicialmente, 8 milhões de galões de água fresca. Água contendo um produto químico indesejável flui para a lagoa a uma taxa de 3 milhões de gal/ano (galões por ano) e a mistura sai da lagoa à mesma taxa. A concentração do produto químico na água que entra varia periodicamente com o tempo de acordo com a expressão gal (gramas por galão).
(b) Esboce o gráfico da solução e descreva em palavras o efeito da variação na concentração da água que entra na lagoa (mais especificamente compare com o que ocorreria caso não tuvéssemos a parcela na concentração
Utilize o teste dos caminhos para provar a nāo existência dos seguintes limites: