Considere uma lagoa que contém, inicialmente, 8 milhões de galões de água fresca. Água contendo um produto químico indesejável flui para a lagoa a uma taxa de 3 milhões de gal/ano (galões por ano) e a mistura sai da lagoa à mesma taxa. A concentração do produto químico na água que entra varia periodicamente com o tempo de acordo com a expressão gal (gramas por galão).
(b) Esboce o gráfico da solução e descreva em palavras o efeito da variação na concentração da água que entra na lagoa (mais especificamente compare com o que ocorreria caso não tuvéssemos a parcela na concentração
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma lagoa com 8 milhões de galões de água fresca. Água com um produto químico indesejado entra na lagoa a uma taxa de 3 milhões de galões por ano, e a mistura sai na mesma taxa. A concentração desse produto químico na água que entra varia com o tempo segundo a fórmula gramas por galão. Precisamos esboçar o gráfico da solução para a concentração e comparar com o caso onde seria constante, ou seja, sem o termo . Para resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais e como variáveis periódicas afetam o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos modelar a situação com uma equação diferencial. A mudança na quantidade de produto químico na lagoa depende da quantidade que entra e sai. A quantidade que entra é dada por taxa de entrada, e a que sai é a concentração na lagoa vezes a taxa de saída. Como a lagoa tem volume constante, podemos escrever:
Aqui, é a quantidade de produto químico na lagoa em um tempo .
Passo 3
Substituindo os valores conhecidos:
Simplificando:
Para facilitar, podemos dividir todos os termos por 3:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial linear do tipo:
onde e . Para resolver, usamos o fator integrante, que é:
Multiplicamos toda a equação pela :
Isso simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a :
Dividimos a integral em duas partes:
A primeira integral é direta:
A segunda integral requer o método de integração por partes ou uso de tabelas de integrais. O resultado será uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 6
Após resolver a integral, isolamos :
Simplificando, obtemos uma expressão para que envolve termos oscilatórios devido ao e termos constantes.
Passo 7
Para esboçar o gráfico, notamos que:
Sem a variação , a solução tenderia a uma concentração constante no equilíbrio.
Com a variação , a concentração oscila em torno desse valor constante, refletindo as variações periódicas na entrada do produto químico.
Resposta
O gráfico da concentração mostra oscilações periódicas devido ao termo , variando em torno de um valor médio. Isso significa que a concentração do produto químico na lagoa oscila ao longo do tempo, acompanhando as variações na água que entra. Se não tivéssemos o termo , a concentração simplesmente se estabilizaria em um valor constante, sem oscilar. Portanto, a presença do termo periódico introduz variações cíclicas na concentração do produto químico na lagoa.