Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que você enviou. A equação diferencial que temos é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, especificamente uma equação linear. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação e usar um fator integrante. Além disso, vamos esboçar o gráfico da solução e determinar o intervalo onde ela está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear, que é:
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por :
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplica a equação para torná-la exata e facilitar a solução. O fator integrante, , é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Passo 4
Para resolver a integral , fazemos uma substituição. Vamos deixar , então , ou seja, . Substituindo na integral:
Então, o fator integrante é:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pela que encontramos:
A equação fica agora na forma exata:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral no lado direito. Vamos resolver:
Para isso, reconhecemos que:
Multiplicando por 3:
Passo 8
Substituímos de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :
Passo 9
Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Simplificando:
Sabemos que , então:
Passo 10
Substituímos de volta na expressão de :
Simplificando:
Passo 11
Finalmente, temos a solução da equação diferencial com a condição inicial:
Para esboçar o gráfico dessa função, podemos usar uma ferramenta computacional como o Desmos ou o GeoGebra. Observando a expressão, percebemos que há logaritmos que envolvem , o que indica que a função tem descontinuidades em e .
Passo 12
Determinar o intervalo onde a solução está definida:
A expressão requer que . Isso acontece quando:
Ambos e , ou seja, .
Ambos e , o que não é possível simultaneamente.
Além disso, o denominador não pode ser zero, então e .
Portanto, a solução está definida no intervalo:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial é:
O gráfico dessa função pode ser esboçado utilizando ferramentas como Desmos ou GeoGebra, e a solução está definida para valores de no intervalo .