Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(i) (4-x^2) dy/dx + 2xy = 3, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que você enviou. A equação diferencial que temos é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, especificamente uma equação linear. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação e usar um fator integrante. Além disso, vamos esboçar o gráfico da solução e determinar o intervalo onde ela está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear, que é:
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por :
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplica a equação para torná-la exata e facilitar a solução. O fator integrante, mu(x), é dado por:
Vamos calcular essa integral:

Passo 4

Para resolver a integral , fazemos uma substituição. Vamos deixar , então , ou seja, . Substituindo na integral:
Então, o fator integrante é:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pela mu(x) que encontramos:
A equação fica agora na forma exata:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral no lado direito. Vamos resolver:
Para isso, reconhecemos que:
Multiplicando por 3:

Passo 8

Substituímos de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por para isolar y:

Passo 9

Aplicamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar a constante C:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 10

Substituímos C de volta na expressão de y:
Simplificando:

Passo 11

Finalmente, temos a solução da equação diferencial com a condição inicial:
Para esboçar o gráfico dessa função, podemos usar uma ferramenta computacional como o Desmos ou o GeoGebra. Observando a expressão, percebemos que há logaritmos que envolvem , o que indica que a função tem descontinuidades em x = 2 e .

Passo 12

Determinar o intervalo onde a solução está definida:
A expressão requer que . Isso acontece quando:
  1. Ambos e , ou seja, .
  2. Ambos e , o que não é possível simultaneamente.
Além disso, o denominador não pode ser zero, então x != 2 e .
Portanto, a solução está definida no intervalo:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial y(0) = 1 é:
O gráfico dessa função pode ser esboçado utilizando ferramentas como Desmos ou GeoGebra, e a solução está definida para valores de x no intervalo .

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