Utilize o teste dos caminhos para provar a nāo existência dos seguintes limites: lim (x, y) (0,2) x(y-2)^2x^5+(y-2)^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos provar que o limite não existe usando o teste dos caminhos. Isso significa que vamos analisar diferentes maneiras de nos aproximarmos do ponto e ver se o limite é o mesmo em todas elas. Se encontrarmos caminhos onde o limite é diferente, podemos concluir que o limite geral não existe.

Passo 2

Vamos começar escolhendo o caminho em que f(x,2) = x(2-2)^2x^5 + (2-2)^3 = x cdot 0x^5 + 0 = 0x^5 = 0 . Nesse caso, substituindo na função:
Portanto, ao longo do caminho , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher um segundo caminho, por exemplo, f(x,2 + x^k) = x(x^k)^2x^5 + (x^k)^3 = x cdot x^2kx^5 + x^3k = x^1 + 2kx^5 + x^3k , onde f(x,2 + x^5/3) = x^1 + 2 cdot 53x^5 + x^3 cdot 53 = x^1 + 103x^5 + x^5 = x^1332x^5 = 12x^133 - 5 = 12x^-23 é uma constante que vamos determinar. Substituindo na função:
Para simplificar, vamos escolher . Assim:
Quando se aproxima de 0, tende ao infinito. Portanto, ao longo do caminho , o limite tende a infinito.

Resposta

Como encontramos limites diferentes ao seguir caminhos diferentes ( e ), podemos concluir que o limite não existe.

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