Utilize o teste dos caminhos para provar a nāo existência dos seguintes limites:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos provar que o limite não existe usando o teste dos caminhos. Isso significa que vamos analisar diferentes maneiras de nos aproximarmos do ponto e ver se o limite é o mesmo em todas elas. Se encontrarmos caminhos onde o limite é diferente, podemos concluir que o limite geral não existe.

Passo 2

Vamos começar escolhendo o caminho em que . Nesse caso, substituindo na função:
Portanto, ao longo do caminho , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher um segundo caminho, por exemplo, , onde é uma constante que vamos determinar. Substituindo na função:
Para simplificar, vamos escolher . Assim:
Quando se aproxima de 0, tende ao infinito. Portanto, ao longo do caminho , o limite tende a infinito.

Resposta

Como encontramos limites diferentes ao seguir caminhos diferentes ( e ), podemos concluir que o limite não existe.

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Considere uma lagoa que contém, inicialmente, 8 milhões de galões de água fresca. Água contendo um produto químico indesejável flui para a lagoa a uma taxa de 3 milhões de gal/ano (galões por ano) e a mistura sai da lagoa à mesma taxa. A concentração do produto químico na água que entra varia periodicamente com o tempo de acordo com a expressão gal (gramas por galão).
(b) Esboce o gráfico da solução e descreva em palavras o efeito da variação na concentração da água que entra na lagoa (mais especificamente compare com o que ocorreria caso não tuvéssemos a parcela na concentração
Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:
Sejam e . Resolva o PVI constituído pela equação diferencial
e pela condição inicial .
Encontre a solução geral de cada uma das EDO