Considerando que algumas EDOs podem envolver funções com integrais não elementares, resolva os problemas de valor inicial abaixo:
(a)
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial ordinária (EDO):
Neste exercício, vamos usar o método das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Precisaremos manipular a equação para encontrar uma solução que satisfaça a condição inicial .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO para deixá-la na forma padrão das equações lineares:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, temos e .
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
No entanto, a integral não possui uma antiderivada elementar e é conhecida como função erro .
Passo 4
Assim, o fator integrante fica:
Entretanto, para simplificação prática, utilizaremos a forma simbólica .
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
A esquerda da equação agora se torna a derivada de :
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.
Passo 7
Isolamos :
Como , a expressão final fica em termos da função erro.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Resolvendo para , encontramos seu valor específico.
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial é:
Onde é a constante determinada pela condição inicial.