Considerando que algumas EDOs podem envolver funções com integrais não elementares, resolva os problemas de valor inicial abaixo:
(a)
(a)
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial ordinária (EDO):
Neste exercício, vamos usar o método das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Precisaremos manipular a equação para encontrar uma solução que satisfaça a condição inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO para deixá-la na forma padrão das equações lineares:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, temos
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
No entanto, a integral
não possui uma antiderivada elementar e é conhecida como função erro
.
Passo 4
Assim, o fator integrante fica:
Entretanto, para simplificação prática, utilizaremos a forma simbólica
.
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
A esquerda da equação agora se torna a derivada de
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolamos
:
Como
, a expressão final fica em termos da função erro.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resolvendo para
, encontramos seu valor específico.
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial
é:
Onde
é a constante determinada pela condição inicial.