Considerando que algumas EDOs podem envolver funções com integrais não elementares, resolva os problemas de valor inicial abaixo:
(a) d y/d x = (1 - y)e^(-x^2), y(4) = 5

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial ordinária (EDO):
Neste exercício, vamos usar o método das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Precisaremos manipular a equação para encontrar uma solução que satisfaça a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO para deixá-la na forma padrão das equações lineares:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, temos e .

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
No entanto, a integral não possui uma antiderivada elementar e é conhecida como função erro .

Passo 4

Assim, o fator integrante fica:
Entretanto, para simplificação prática, utilizaremos a forma simbólica .

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
A esquerda da equação agora se torna a derivada de :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos :
Como , a expressão final fica em termos da função erro.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Resolvendo para , encontramos seu valor específico.

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial é:
Onde é a constante determinada pela condição inicial.

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