Calcule a derivada das curvas dadas a seguir: F(t) = (2t^2 + 3)^2(t + 4) * i + (4t^3 - 2t^2 + 1) * j + e^t * k

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da curva vetorial dada. Aqui estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar derivar cada componente da função vetor em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a componente :
Para derivar esse produto, vamos usar a regra do produto. Seja e .
A derivada de é:
A derivada de é:
Aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos derivar a componente :
Aplicamos a regra da potência:
Então, a derivada total da componente é:

Passo 4

Por fim, vamos derivar a componente :
A derivada de é simplesmente :

Resposta

A derivada da curva é:

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