Considere as funções dadas por e . Determine: O produto escalar ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais, F(t) e G(t), que mapeiam para o espaço tridimensional (ℝ³). O objetivo é calcular o produto escalar entre essas duas funções. Para isso, precisamos entender o que é produto escalar e como aplicá-lo em vetores de três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes de cada vetor. A função F(t) é dada por:
E a função G(t) é:

Passo 3

O produto escalar de dois vetores em ℝ³ é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando esses resultados. Ou seja, se temos e , então:

Passo 4

Aplicando isso às nossas funções F(t) e G(t):

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. (porque as raízes se cancelam)

Passo 6

Agora, somamos todos os termos simplificados:

Resposta

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Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:
Considere as funções dadas por e . Determine: A soma ;
O movimento de um objeto que desliza sobre uma determinada superfície é dado pela função vetorial
onde é a massa do objeto dada em unidades de massa e é o tempo dado em segundos. Determinar a posição do objeto de massa . no instante .
Calcule, caso existam, os seguintes limites: