Considere as funções F, G: A -> R^3 dadas por F(t) = (t^2 + 2t, raiz(t^2 - 1), 3t^3) e G(t) = (t, t / raiz(t^2 - 1), e^t). Determine: O produto escalar F(t) . G(t);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais, F(t) e G(t), que mapeiam para o espaço tridimensional (ℝ³). O objetivo é calcular o produto escalar entre essas duas funções. Para isso, precisamos entender o que é produto escalar e como aplicá-lo em vetores de três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes de cada vetor. A função F(t) é dada por:
E a função G(t) é:

Passo 3

O produto escalar de dois vetores em ℝ³ é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando esses resultados. Ou seja, se temos e , então:

Passo 4

Aplicando isso às nossas funções F(t) e G(t):

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. (porque as raízes se cancelam)

Passo 6

Agora, somamos todos os termos simplificados:

Resposta

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