Considere as funções
dadas por
e
. Determine: O produto escalar
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais, F(t) e G(t), que mapeiam para o espaço tridimensional (ℝ³). O objetivo é calcular o produto escalar entre essas duas funções. Para isso, precisamos entender o que é produto escalar e como aplicá-lo em vetores de três dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes de cada vetor. A função F(t) é dada por:
E a função G(t) é:
Passo 3
O produto escalar de dois vetores em ℝ³ é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando esses resultados. Ou seja, se temos
e
, então:
Passo 4
Aplicando isso às nossas funções F(t) e G(t):
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
-
-
(porque as raízes se cancelam) -
Passo 6
Agora, somamos todos os termos simplificados: