Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan e eliminação Gaussiana.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de três equações com três incógnitas , e . Vamos resolver esse sistema usando dois métodos: eliminação de Gauss-Jordan e eliminação Gaussiana. Para isso, vamos precisar manipular as equações para isolar as variáveis e encontrar os valores delas.
Resolução por Eliminação de Gauss-Jordan
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. Isso facilita visualizar as operações que vamos fazer:
Passo 3
Nosso objetivo com a eliminação de Gauss-Jordan é transformar essa matriz em uma matriz identidade à esquerda do traço. Vamos começar deixando o primeiro elemento da primeira linha igual a 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 2:
Passo 4
Agora, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro 1. Vamos fazer isso ajustando as outras linhas:
Para a segunda linha: Adicionamos 2 vezes a primeira linha à segunda linha:
Para a terceira linha: Subtraímos 8 vezes a primeira linha da terceira linha:
Passo 5
Agora, vamos focar no segundo pivô, que está na posição (2,2). Queremos que ele seja 1, então dividimos a segunda linha por 7:
Passo 6
Vamos zerar os elementos acima e abaixo desse pivô:
Para a primeira linha: Subtraímos a segunda linha da primeira linha:
Para a terceira linha: Adicionamos 7 vezes a segunda linha à terceira linha:
Passo 7
Observamos que a terceira linha ficou toda zero, o que indica que temos infinitas soluções dependendo do valor de . Vamos chamar , onde pode ser qualquer número real.
Agora, expressamos e em termos de :
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Passo 8
Começamos novamente com a matriz aumentada:
Passo 9
Primeiro, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Podemos fazer isso adicionando a primeira linha à segunda linha e subtraindo 4 vezes a primeira linha da terceira linha:
Para a segunda linha:
Para a terceira linha:
Passo 10
Agora, focamos na segunda coluna. Queremos que o elemento (2,2) seja 1 para facilitar:
Passo 11
Vamos zerar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna:
Passo 12
Agora, temos uma matriz triangular superior. Podemos escrever as equações correspondentes:
Passo 13
Resolvemos a segunda equação para :
Assim como na eliminação de Gauss-Jordan, definimos .