Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan e eliminação Gaussiana.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de três equações com três incógnitas , e . Vamos resolver esse sistema usando dois métodos: eliminação de Gauss-Jordan e eliminação Gaussiana. Para isso, vamos precisar manipular as equações para isolar as variáveis e encontrar os valores delas.

Resolução por Eliminação de Gauss-Jordan

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. Isso facilita visualizar as operações que vamos fazer:

Passo 3

Nosso objetivo com a eliminação de Gauss-Jordan é transformar essa matriz em uma matriz identidade à esquerda do traço. Vamos começar deixando o primeiro elemento da primeira linha igual a 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 2:

Passo 4

Agora, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro 1. Vamos fazer isso ajustando as outras linhas:
  • Para a segunda linha: Adicionamos 2 vezes a primeira linha à segunda linha:
  • Para a terceira linha: Subtraímos 8 vezes a primeira linha da terceira linha:

Passo 5

Agora, vamos focar no segundo pivô, que está na posição (2,2). Queremos que ele seja 1, então dividimos a segunda linha por 7:

Passo 6

Vamos zerar os elementos acima e abaixo desse pivô:
  • Para a primeira linha: Subtraímos a segunda linha da primeira linha:
  • Para a terceira linha: Adicionamos 7 vezes a segunda linha à terceira linha:

Passo 7

Observamos que a terceira linha ficou toda zero, o que indica que temos infinitas soluções dependendo do valor de . Vamos chamar , onde pode ser qualquer número real.
Agora, expressamos e em termos de :
  • Da segunda equação:
  • Da primeira equação:

Passo 8

Começamos novamente com a matriz aumentada:

Passo 9

Primeiro, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Podemos fazer isso adicionando a primeira linha à segunda linha e subtraindo 4 vezes a primeira linha da terceira linha:
  • Para a segunda linha:
  • Para a terceira linha:

Passo 10

Agora, focamos na segunda coluna. Queremos que o elemento (2,2) seja 1 para facilitar:

Passo 11

Vamos zerar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna:

Passo 12

Agora, temos uma matriz triangular superior. Podemos escrever as equações correspondentes:

Passo 13

Resolvemos a segunda equação para :
Assim como na eliminação de Gauss-Jordan, definimos .
Substituindo na primeira equação:

Resposta

As soluções do sistema são:
onde é um número real qualquer.

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(a)
0,3
(b)
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Resolva o sistema linear dado por qualquer método:
a)