Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan e eliminação Gaussiana.
(b)
rr 2 x1+2 x2+2 x3= & 0 -2 x1+5 x2+2 x3= & 1 8 x1+x2+4 x3= & -1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de três equações com três incógnitas , e . Vamos resolver esse sistema usando dois métodos: eliminação de Gauss-Jordan e eliminação Gaussiana. Para isso, vamos precisar manipular as equações para isolar as variáveis e encontrar os valores delas.

Resolução por Eliminação de Gauss-Jordan

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. Isso facilita visualizar as operações que vamos fazer:
2 & 2 & 2 & | & 0 -2 & 5 & 2 & | & 1 8 & 1 & 4 & | & -1

Passo 3

Nosso objetivo com a eliminação de Gauss-Jordan é transformar essa matriz em uma matriz identidade à esquerda do traço. Vamos começar deixando o primeiro elemento da primeira linha igual a 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 2:
R1 = R12 implies 1 & 1 & 1 & | & 0 -2 & 5 & 2 & | & 1 8 & 1 & 4 & | & -1

Passo 4

Agora, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro 1. Vamos fazer isso ajustando as outras linhas:
  • Para a segunda linha: Adicionamos 2 vezes a primeira linha à segunda linha:
R2 = R2 + 2R1 implies 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 7 & 4 & | & 1 8 & 1 & 4 & | & -1
  • Para a terceira linha: Subtraímos 8 vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - 8R1 implies 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 7 & 4 & | & 1 0 & -7 & -4 & | & -1

Passo 5

Agora, vamos focar no segundo pivô, que está na posição (2,2). Queremos que ele seja 1, então dividimos a segunda linha por 7:
R2 = R27 implies 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 1 & 47 & | & 17 0 & -7 & -4 & | & -1

Passo 6

Vamos zerar os elementos acima e abaixo desse pivô:
  • Para a primeira linha: Subtraímos a segunda linha da primeira linha:
R1 = R1 - R2 implies 1 & 0 & 37 & | & -17 0 & 1 & 47 & | & 17 0 & -7 & -4 & | & -1
  • Para a terceira linha: Adicionamos 7 vezes a segunda linha à terceira linha:
R3 = R3 + 7R2 implies 1 & 0 & 37 & | & -17 0 & 1 & 47 & | & 17 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 7

Observamos que a terceira linha ficou toda zero, o que indica que temos infinitas soluções dependendo do valor de x2 + 47t = 17 implies x2 = 17 - 47t . Vamos chamar x1 + 37t = -17 implies x1 = -17 - 37t , onde pode ser qualquer número real.
Agora, expressamos e em termos de :
  • Da segunda equação:
  • Da primeira equação:

Passo 8

Começamos novamente com a matriz aumentada:
2 & 2 & 2 & | & 0 -2 & 5 & 2 & | & 1 8 & 1 & 4 & | & -1

Passo 9

Primeiro, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Podemos fazer isso adicionando a primeira linha à segunda linha e subtraindo 4 vezes a primeira linha da terceira linha:
  • Para a segunda linha:
R2 = R2 + R1 implies 2 & 2 & 2 & | & 0 0 & 7 & 4 & | & 1 8 & 1 & 4 & | & -1
  • Para a terceira linha:
R3 = R3 - 4R1 implies 2 & 2 & 2 & | & 0 0 & 7 & 4 & | & 1 0 & -7 & -4 & | & -1

Passo 10

Agora, focamos na segunda coluna. Queremos que o elemento (2,2) seja 1 para facilitar:
R2 = R27 implies 2 & 2 & 2 & | & 0 0 & 1 & 47 & | & 17 0 & -7 & -4 & | & -1

Passo 11

Vamos zerar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna:
R3 = R3 + 7R2 implies 2 & 2 & 2 & | & 0 0 & 1 & 47 & | & 17 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 12

Agora, temos uma matriz triangular superior. Podemos escrever as equações correspondentes:
2x1 + 2x2 + 2x3 = 0 x2 + 47x3 = 17 0 = 0

Passo 13

Resolvemos a segunda equação para x2 = 17 - 47x3 :
2x1 + 2(17 - 47t) + 2t = 0 2x1 + 27 - 87t + 2t = 0 2x1 = -27 + 87t - 2t 2x1 = -27 - 67t x1 = -17 - 37t
Assim como na eliminação de Gauss-Jordan, definimos .
Substituindo na primeira equação:

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = -17 - 37t x2 = 17 - 47t x3 = t
onde é um número real qualquer.

Exercícios relacionados