Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! O enunciado pede para calcular a derivada de uma função vetorial . Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente nas derivadas de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar aplicar a derivada em cada componente da função , e em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial:
Para encontrar a derivada , vamos derivar cada uma dessas componentes separadamente.

Passo 3

Vamos começar derivando a componente na direção :
Aqui, usamos a regra do quociente, que diz que se temos uma função , a derivada é:

Passo 4

Identificamos e . Agora, calculamos suas derivadas:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Portanto, a derivada da componente fica:

Passo 6

Agora, vamos derivar a componente na direção :
Aqui, usamos a regra da potência, onde a derivada de é .

Passo 7

Por fim, vamos derivar a componente na direção :
Novamente, aplicamos a regra da potência, e como é uma constante, ela permanece multiplicando a derivada.

Resposta

A derivada da curva é:

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Verifique se a função dada por
é contínua no ponto .
Verifique que: se é solução da equação diferencial , então é solução da equação diferencial .
Qual dos pontos e está mais próximo do plano ? Qual ponto pertence ao plano ?