Verifique que: se phi(t) é solução da equação diferencial y'' + p(t) y' + q(t) y = g(t), então y(t) = c * phi(t) é solução da equação diferencial y'' + p(t) y' + q(t) y = c g(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma equação diferencial do tipo , e que é uma solução dessa equação. A gente precisa mostrar que se multiplicarmos por uma constante , ou seja, tomar , então essa nova função vai satisfazer uma outra equação diferencial: . Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de derivadas e propriedades das equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de . Sabemos que derivar uma constante multiplicada por uma função é o mesmo que multiplicar a derivada da função por essa constante. Então:

Passo 3

Agora, substituímos , e na equação diferencial :

Passo 4

Podemos fatorar o de cada termo:

Passo 5

Lembrando que é uma solução da equação original , substituímos isso na expressão:

Resposta

Portanto, é uma solução da equação diferencial .

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