Calcule a derivada das curvas dadas a seguir: F(t) = sent cost i + e^(1 + t^2) j + (2 t^5 + t^3) k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da curva vetorial dada por . Vamos usar os conceitos de cálculo de derivadas e, mais especificamente, a derivada de funções compostas (regra da cadeia) e a derivada de funções polinomiais e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para derivar uma função vetorial, derivamos cada uma das suas componentes separadamente. Ou seja, vamos calcular a derivada de cada termo que está multiplicando os vetores , e .

Passo 3

Vamos começar com a componente do vetor : .
Para derivar , precisamos usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função. A regra da cadeia diz que a derivada de é .
Aqui, e .
Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar a componente do vetor : .
Para derivar , usamos a regra da derivada de uma função exponencial composta. A derivada de é , onde .
Então:

Passo 5

Por fim, vamos derivar a componente do vetor : .
Aqui, derivamos termo a termo usando a regra da potência, que diz que a derivada de é .
Então:

Resposta

A derivada da curva vetorial é:

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