Verifique se a função dada por
F(t)=cc t i+raizt-2t-4 j, & se t neq 4 4 i+1 / 4 j, & se t=4
é contínua no ponto t=4.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função vetorial definida de duas maneiras diferentes: uma para quando não é igual a 4 e outra quando é exatamente 4. A matéria que vamos usar aqui é sobre continuidade de funções vetoriais. Para resolver isso, a gente precisa verificar se os limites das componentes da função, quando se aproxima de 4, são iguais aos valores que a função tem exatamente em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua em se, ao se aproximar de 4, o valor da função não tiver “saltos” ou “buracos”. No caso de funções vetoriais, a continuidade tem que acontecer em todas as componentes da função.

Passo 3

A nossa função F(t) = t i + raizt - 2t - 4 j tem duas componentes: a componente F(4) = 4 i + 14 j e a componente . Vamos analisar cada uma delas separadamente.
Para :
E para :

Passo 4

Vamos verificar o limite de cada componente quando limt to 4 t = 4 se aproxima de 4.
Componente limt to 4 raizt - 2t - 4 :
limt to 4 12raizt1 = 12 times 2 = 14
Isso já é igual ao valor da função em , que é .
Componente :
Ao tentar substituir , fica , que é uma indeterminação. Então, vamos aplicar a regra de L’Hospital.
Derivando o numerador e o denominador:
Então, o limite da componente é , que também é igual ao valor da função em .

Resposta

Como os limites das componentes e quando se aproxima de 4 são iguais aos valores da função em , a função é contínua no ponto .

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