Verifique se a função dada por
é contínua no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função vetorial
definida de duas maneiras diferentes: uma para quando
não é igual a 4 e outra quando
é exatamente 4. A matéria que vamos usar aqui é sobre continuidade de funções vetoriais. Para resolver isso, a gente precisa verificar se os limites das componentes da função, quando
se aproxima de 4, são iguais aos valores que a função tem exatamente em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua em
se, ao se aproximar de 4, o valor da função não tiver “saltos” ou “buracos”. No caso de funções vetoriais, a continuidade tem que acontecer em todas as componentes da função.
Passo 3
A nossa função
tem duas componentes: a componente
e a componente
. Vamos analisar cada uma delas separadamente.
Para
:
E para
:
Passo 4
Vamos verificar o limite de cada componente quando
se aproxima de 4.
Componente
:
Isso já é igual ao valor da função em
, que é
.
Componente
:
Ao tentar substituir
, fica
, que é uma indeterminação. Então, vamos aplicar a regra de L’Hospital.
Derivando o numerador e o denominador:
Então, o limite da componente
é
, que também é igual ao valor da função em
.
Resposta
Como os limites das componentes
e
quando
se aproxima de 4 são iguais aos valores da função em
, a função
é contínua no ponto
.