Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função vetorial definida de duas maneiras diferentes: uma para quando não é igual a 4 e outra quando é exatamente 4. A matéria que vamos usar aqui é sobre continuidade de funções vetoriais. Para resolver isso, a gente precisa verificar se os limites das componentes da função, quando se aproxima de 4, são iguais aos valores que a função tem exatamente em .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua em se, ao se aproximar de 4, o valor da função não tiver “saltos” ou “buracos”. No caso de funções vetoriais, a continuidade tem que acontecer em todas as componentes da função.
Passo 3
A nossa função tem duas componentes: a componente e a componente . Vamos analisar cada uma delas separadamente.
Para :
E para :
Passo 4
Vamos verificar o limite de cada componente quando se aproxima de 4.
Componente :
Isso já é igual ao valor da função em , que é .
Componente :
Ao tentar substituir , fica , que é uma indeterminação. Então, vamos aplicar a regra de L’Hospital.
Derivando o numerador e o denominador:
Então, o limite da componente é , que também é igual ao valor da função em .
Resposta
Como os limites das componentes e quando se aproxima de 4 são iguais aos valores da função em , a função é contínua no ponto .