Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a derivada da curva dada pela função vetorial:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como derivar funções trigonométricas e polinomiais em cada componente do vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma função vetorial como tem três componentes: uma na direção , outra na e uma na . Para encontrar a derivada , vamos derivar cada uma dessas componentes em relação a .
Passo 3
Vamos começar com a primeira componente: . A cotangente é uma função trigonométrica que podemos derivar usando a regra da cadeia. Sabemos que:
Aqui, . Então, a derivada da primeira componente será:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente: . Para derivar esse produto, usamos a regra do produto, que diz que . Aqui, e . Então:
Passo 5
Finalmente, a terceira componente é constante: . A derivada de uma constante é zero, então: