Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
n)
Passo 1
Beleza, então temos a série . Vamos estudar se ela converge, se converge de forma condicional ou absoluta, e se possível, encontrar o valor da soma. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de séries alternadas, convergência absoluta e teste da série. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é alternada. Uma série é alternada quando os termos mudam de sinal, ou seja, temos algo como ou . No nosso caso, temos , então sim, a série é alternada.
Passo 3
Agora, vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série sem os termos alternados, ou seja, consideramos . Se essa série convergir, então a série original converge absolutamente.
Passo 4
Para testar a convergência da série , podemos usar o Teste da Raiz ou o Teste da Razão. Vamos usar o Teste da Razão aqui.
O Teste da Razão diz que se , a série converge absolutamente.
Calculando:
Tomando o limite quando :
Passo 5
Como o limite , pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente. Isso significa que a série original também converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente, já que a série dos valores absolutos é convergente pelo Teste da Razão.