Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
n) sumk=1^infty(-1)^k k^2 e^-k

Passo 1

Beleza, então temos a série . Vamos estudar se ela converge, se converge de forma condicional ou absoluta, e se possível, encontrar o valor da soma. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de séries alternadas, convergência absoluta e teste da série. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é alternada. Uma série é alternada quando os termos mudam de sinal, ou seja, temos algo como ou . No nosso caso, temos , então sim, a série é alternada.

Passo 3

Agora, vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série sem os termos alternados, ou seja, consideramos . Se essa série convergir, então a série original converge absolutamente.

Passo 4

Para testar a convergência da série ak+1ak = (k+1)^2 e^-(k+1)k^2 e^-k = (k+1)^2k^2 e^-1 = (1 + 2k + 1k^2) e^-1 , podemos usar o Teste da Raiz ou o Teste da Razão. Vamos usar o Teste da Razão aqui.
O Teste da Razão diz que se limk to infty (1 + 2k + 1k^2) e^-1 = 1 cdot e^-1 = e^-1 approx 0,3679 < 1 , a série converge absolutamente.
Calculando:
Tomando o limite quando :

Passo 5

Como o limite , pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente. Isso significa que a série original também converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente, já que a série dos valores absolutos é convergente pelo Teste da Razão.

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