Seja f: R^2 \ {(0,0)} -> R, definida por f(x, y) = 1 / (x^2 + y^2). Prove que f é uma solução das seguintes equações diferenciais parciais. u_xx + u_yy = 4 u^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função é uma solução da equação diferencial parcial . Isso envolve calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e , somá-las e verificar se o resultado é igual a . Vamos precisar usar regras de derivação e entender um pouco sobre equações diferenciais parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de em relação a . A função pode ser escrita como . Usando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , ou seja, . Derivando em relação a :
Simplificando:

Passo 4

De forma similar, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , ou seja, . Seguindo o mesmo processo:
Derivando novamente em relação a :

Passo 5

Agora, vamos somar e :

Passo 6

Agora, vamos calcular , onde :

Resposta

Como , concluímos que é uma solução da equação diferencial parcial .

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