Seja
, definida por
. Prove que
é uma solução das seguintes equações diferenciais parciais.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função
é uma solução da equação diferencial parcial
. Isso envolve calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
, somá-las e verificar se o resultado é igual a
. Vamos precisar usar regras de derivação e entender um pouco sobre equações diferenciais parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
. A função
pode ser escrita como
. Usando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
. Derivando
em relação a
:
Simplificando:
Passo 4
De forma similar, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
. Seguindo o mesmo processo:
Derivando novamente em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos somar
e
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
, onde
:
Resposta
Como
, concluímos que
é uma solução da equação diferencial parcial
.