Seja f: R^2 \ {(0,0)} -> R, definida por f(x, y) = 1 / (x^2 + y^2). Prove que f é uma solução das seguintes equações diferenciais parciais. x^2 u_xy + y^2 u_yx = 2/u^2 u_x u_y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função definida para todos os pontos no plano real, exceto quando e são ambos zero. O objetivo aqui é provar que essa função é uma solução para uma equação diferencial parcial específica:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , tanto as primeiras quanto as segundas, e então substituir esses valores na equação dada para verificar se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de , ou seja, e .
A função dada é:
Para encontrar , derivamos em relação a , tratando como uma constante:
Similarmente, para , derivamos em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem, e .
Começando com , que é a derivada de em relação a :
Aplicando a regra da cadeia:
Portanto:
De maneira semelhante, é a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora que temos e , vamos substituir na equação diferencial dada:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando o lado esquerdo:
Simplificando o lado direito:

Resposta

Como ambos os lados da equação resultaram em , concluímos que a função satisfaz a equação diferencial parcial dada. Portanto, é realmente uma solução dessa equação.

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