Seja
, definida por
. Prove que
é uma solução das seguintes equações diferenciais parciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
definida para todos os pontos
no plano real, exceto quando
e
são ambos zero. O objetivo aqui é provar que essa função é uma solução para uma equação diferencial parcial específica:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, tanto as primeiras quanto as segundas, e então substituir esses valores na equação dada para verificar se a igualdade se mantém.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de
, ou seja,
e
.
A função dada é:
Para encontrar
, derivamos
em relação a
, tratando
como uma constante:
Similarmente, para
, derivamos
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem,
e
.
Começando com
, que é a derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia:
Portanto:
De maneira semelhante,
é a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos substituir na equação diferencial dada:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando o lado esquerdo:
Simplificando o lado direito:
Resposta
Como ambos os lados da equação resultaram em
, concluímos que a função
satisfaz a equação diferencial parcial dada. Portanto,
é realmente uma solução dessa equação.