Calcule a derivada das curvas dadas a seguir: F(t) = sent cost i + e^(1 + t^2) j + (2 t^5 + t^3) k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a derivada de uma curva vetorial dada por . Então, o conteúdo aqui envolve cálculo de derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar cada componente da função vetorial separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma função vetorial como essa tem componentes nas direções i, vec(j) e k. Para derivar , a gente deriva cada uma dessas componentes em relação a t. Ou seja, se , então .

Passo 3

Vamos começar derivando a componente na direção i: . Para derivar isso, podemos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é . Aqui, e .
Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar a componente na direção vec(j): . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde .
Então:

Passo 5

Por fim, vamos derivar a componente na direção k: . Aqui, usamos a regra do poder, que diz que a derivada de é .
Então:

Resposta

A derivada da curva é:

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