Calcule a derivada das curvas dadas a seguir: sent cost

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a derivada de uma curva vetorial dada por . Então, o conteúdo aqui envolve cálculo de derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar cada componente da função vetorial separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma função vetorial como essa tem componentes nas direções , e . Para derivar , a gente deriva cada uma dessas componentes em relação a . Ou seja, se , então .

Passo 3

Vamos começar derivando a componente na direção : . Para derivar isso, podemos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é . Aqui, e .
Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar a componente na direção : . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde .
Então:

Passo 5

Por fim, vamos derivar a componente na direção : . Aqui, usamos a regra do poder, que diz que a derivada de é .
Então:

Resposta

A derivada da curva é:

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(b)
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