Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular e a soluçāo geral das seguintes equaçōes diferenciais: y'' + 9y' = x^2 e^(3x) + 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais usando o método dos coeficientes a determinar. A questão pede para encontrar uma solução particular e a solução geral da equação diferencial . Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como aplicar o método dos coeficientes para encontrar soluções específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Resolver a equação homogênea nos dá a base para encontrar a solução geral.

Passo 3

Escrevemos a equação característica da equação homogênea:
Resolvendo para , temos:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Utilizaremos o método dos coeficientes a determinar, assumindo uma forma para que se ajuste ao lado direito da equação.

Passo 6

Observamos que o lado direito da equação tem dois termos: e . Vamos encontrar soluções particulares para cada um desses termos separadamente e depois somá-las.

Passo 7

Primeiro, para o termo , assumimos uma solução particular da forma:
Onde , e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 8

Para o termo constante , assumimos uma solução particular simples:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 9

Assim, a solução particular completa será:
Agora, vamos derivar e substituir na equação original para encontrar os coeficientes , , e .

Passo 10

Calculando a primeira derivada de :
Simplificando:

Passo 11

Calculando a segunda derivada de :
Simplificando:

Passo 12

Substituindo , e na equação original:

Passo 13

Agrupando os termos semelhantes:

Passo 14

Igualando os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Calculando:
Para simplificar, mantemos a fração:
E para o termo constante , observamos que na equação original, o lado direito tem apenas como termo constante, então:

Passo 15

Agora que encontramos os coeficientes, substituímos na solução particular:

Passo 16

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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