Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular e a soluçāo geral das seguintes equaçōes diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais usando o método dos coeficientes a determinar. A questão pede para encontrar uma solução particular e a solução geral da equação diferencial
. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como aplicar o método dos coeficientes para encontrar soluções específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Resolver a equação homogênea nos dá a base para encontrar a solução geral.
Passo 3
Escrevemos a equação característica da equação homogênea:
Resolvendo para
, temos:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Utilizaremos o método dos coeficientes a determinar, assumindo uma forma para
que se ajuste ao lado direito da equação.
Passo 6
Observamos que o lado direito da equação tem dois termos:
e
. Vamos encontrar soluções particulares para cada um desses termos separadamente e depois somá-las.
Passo 7
Primeiro, para o termo
, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
,
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 8
Para o termo constante
, assumimos uma solução particular simples:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 9
Assim, a solução particular completa será:
Agora, vamos derivar
e substituir na equação original para encontrar os coeficientes
,
,
e
.
Passo 10
Calculando a primeira derivada de
:
Simplificando:
Passo 11
Calculando a segunda derivada de
:
Simplificando:
Passo 12
Substituindo
,
e
na equação original:
Passo 13
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 14
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Calculando:
Para simplificar, mantemos a fração:
E para o termo constante
, observamos que na equação original, o lado direito tem apenas
como termo constante, então:
Passo 15
Agora que encontramos os coeficientes, substituímos na solução particular:
Passo 16
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.