Resolva os PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse PVI! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea, uma solução particular da equação completa e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Para isso, assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, podemos fatorar:
Isso nos dá uma raiz dupla
. Quando temos raízes iguais, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar depois.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Observamos que o lado direito tem dois termos:
e uma constante 4. Vamos achar uma solução particular para cada um separadamente e depois somar.
Para o termo
, como já temos
na solução homogênea, tentamos uma forma multiplicada por
. Então, consideramos:
Para o termo constante 4, tentamos uma solução particular constante:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
e substituir na equação para encontrar
e
.
Assumindo
, temos:
Substituindo
,
e
na equação
, e igualando os coeficientes, resolvemos para
e
. Após os cálculos, encontramos
e
.
Portanto:
Para
, substituímos na equação:
Passo 6
Agora, somamos as soluções particulares:
Então, a solução geral da equação completa é:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Passo 8
Agora, derivamos
para encontrar
:
Simplificando:
Aplicando
:
Substituindo
:
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, temos: