Beleza, vamos resolver esse PVI! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea, uma solução particular da equação completa e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Para isso, assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação característica , podemos fatorar:
Isso nos dá uma raiz dupla . Quando temos raízes iguais, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar depois.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observamos que o lado direito tem dois termos: e uma constante 4. Vamos achar uma solução particular para cada um separadamente e depois somar.
Para o termo , como já temos na solução homogênea, tentamos uma forma multiplicada por . Então, consideramos:
Para o termo constante 4, tentamos uma solução particular constante:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de e substituir na equação para encontrar e .
Assumindo , temos:
Substituindo , e na equação , e igualando os coeficientes, resolvemos para e . Após os cálculos, encontramos e .
Portanto:
Para , substituímos na equação:
Passo 6
Agora, somamos as soluções particulares:
Então, a solução geral da equação completa é:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .