(3,0 pontos) Encontre a solução geral para as equações abaixo.
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. A questão pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais, especificamente equações homogêneas. Vamos precisar usar substituição para transformar a equação e facilitar a resolução.
Passo 2
Vamos verificar se a equação é homogênea. Para isso, observamos os termos no numerador e no denominador:
Numerador: (grau 1)
Denominador: (grau 1)
Como os termos têm o mesmo grau, a equação é homogênea. Isso significa que podemos usar a substituição para simplificar.
Passo 3
Fazendo a substituição , temos que . Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a :
Passo 4
Substituímos e na equação original:
Passo 5
Isolamos :
Simplificando o lado direito:
Portanto:
Passo 6
Separando as variáveis:
Para integrar o lado esquerdo, vamos decompor a fração:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Essa é a forma geral da solução da equação diferencial.