(3,0 pontos) Encontre a solução geral para as equações abaixo.
(b)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. A questão pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais, especificamente equações homogêneas. Vamos precisar usar substituição para transformar a equação e facilitar a resolução.

Passo 2

Vamos verificar se a equação é homogênea. Para isso, observamos os termos no numerador e no denominador:
  • Numerador: (grau 1)
  • Denominador: (grau 1)
Como os termos têm o mesmo grau, a equação é homogênea. Isso significa que podemos usar a substituição para simplificar.

Passo 3

Fazendo a substituição , temos que . Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituímos e na equação original:

Passo 5

Isolamos :
Simplificando o lado direito:
Portanto:

Passo 6

Separando as variáveis:
Para integrar o lado esquerdo, vamos decompor a fração:

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Essa é a forma geral da solução da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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