Calcule a derivada pela definiçāo das funções f(x) = 3 x^3 - 2 x + 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a derivada da função usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a regra do limite para encontrar a taxa de variação da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite quando se aproxima de zero da diferença entre a função no ponto e no ponto , dividida por .

Passo 3

Agora, vamos encontrar . Substituímos por na função original:
Vamos expandir esse termo para facilitar a substituição.

Passo 4

Vamos expandir . Sabemos que:
Substituindo na expressão de :

Passo 5

Vamos distribuir o 3:
Agora, temos todas as expressões prontas para calcular a diferença .

Passo 6

Calculando :
Simplificando termos semelhantes:

Passo 7

Agora, dividimos essa diferença por :
Podemos simplificar dividindo cada termo por :

Passo 8

Finalmente, aplicamos o limite quando tende a zero:
As termos com vão a zero, restando apenas .

Resposta

A derivada de é .

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