Encontre
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
cuja derivada vetorial, ou seja, o gradiente dela, é dado por
. Além disso, sabemos que
. Nosso objetivo é encontrar a expressão completa da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a integração de uma função vetorial para encontrar a função original.
Passo 2
Primeiro, lembrando que o gradiente de
,
, é formado pelas derivadas parciais de
em relação a cada variável. Ou seja:
Dado isso, temos:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função desconhecida que depende apenas de
e
, já que a constante de integração pode depender dessas variáveis.
Passo 3
Agora, vamos usar a segunda componente do gradiente:
Sabemos que
, então derivando em relação a
:
Isso implica que:
Simplificando, temos:
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é outra função desconhecida que depende apenas de
.
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão de
:
Vamos usar a terceira componente do gradiente para encontrar
:
Derivando
em relação a
:
Igualando com a terceira componente do gradiente:
Isso implica que:
Integrando, obtemos:
onde
é uma constante.
Passo 5
Agora, temos a expressão completa de
:
Para determinar
, usamos a condição dada
:
Resposta
A função procurada é: