Encontre f: R^3 -> R tal que nabla f(x, y, z) = (y^2, 2xy + e^(3z), 3ye^(3z)) e f(2,1,0) = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função cuja derivada vetorial, ou seja, o gradiente dela, é dado por . Além disso, sabemos que . Nosso objetivo é encontrar a expressão completa da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a integração de uma função vetorial para encontrar a função original.

Passo 2

Primeiro, lembrando que o gradiente de , , é formado pelas derivadas parciais de em relação a cada variável. Ou seja:
Dado isso, temos:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função desconhecida que depende apenas de e , já que a constante de integração pode depender dessas variáveis.

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda componente do gradiente:
Sabemos que , então derivando em relação a :
Isso implica que:
Simplificando, temos:
Agora, vamos integrar em relação a :
Aqui, é outra função desconhecida que depende apenas de .

Passo 4

Agora, substituímos na expressão de :
Vamos usar a terceira componente do gradiente para encontrar :
Derivando em relação a :
Igualando com a terceira componente do gradiente:
Isso implica que:
Integrando, obtemos:
onde é uma constante.

Passo 5

Agora, temos a expressão completa de :
Para determinar , usamos a condição dada :

Resposta

A função procurada é:

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