Calcule a derivada destas funções:
(s) y = 2 x * log10(raiz(x)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo juntos! O enunciado pede para calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar conceitos de derivadas, como a regra do produto e a derivada de funções logarítmicas. Para isso, vamos precisar conhecer a regra para derivar produtos de funções e como derivar logaritmos com base diferente de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que , então podemos reescrever a função da seguinte maneira:

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que . Aplicando isso na nossa função:
O vem do expoente de dentro do logaritmo.

Passo 4

Simplificando os coeficientes:
Agora, nossa função está mais simples para derivar.

Passo 5

Vamos calcular a derivada de . Aqui, precisamos usar a regra do produto, que é utilizada quando temos o produto de duas funções. A regra do produto diz que se , então:
No nosso caso, e .

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e :
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Para derivar logaritmos de outras bases, usamos a fórmula:
Onde , então:

Passo 7

Aplicando a regra do produto:
Simplificando :

Passo 8

Então, a derivada da função é:

Resposta

A derivada da função é .

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