Considere uma pirâmide de base retangular, sabendo que o volume da pirâmide é V = (A_b * h) / 3, onde Ab é a área da base e h é a altura da pirâmide. Sejam a o comprimento e b a largura da base da pirâmide.
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a h se h variar e a e b permanecerem constantes.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma pirâmide com base retangular. O volume da pirâmide é dado pela fórmula , onde é a área da base e é a altura. A base tem comprimento e largura . Nosso objetivo aqui é descobrir como o volume muda instantaneamente quando a altura muda, mantendo e constantes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a área da base . Como a base é um retângulo, a área é simplesmente o comprimento vezes a largura: . Como e são constantes, também é uma constante.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do volume da pirâmide: . Queremos encontrar a taxa de variação instantânea de em relação a , ou seja, .

Passo 4

Para encontrar , vamos derivar a expressão de em relação a . A derivada de em relação a é:

Passo 5

Como é uma constante, a derivada fica mais simples:
E sabemos que , então:

Passo 6

Substituindo por , temos:

Resposta

A fórmula para a taxa de variação instantânea de em relação a é:

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