Considere uma pirâmide de base retangular, sabendo que o volume da pirâmide é
, onde
é a área da base e
é a altura da pirâmide. Sejam
o comprimento e
a largura da base da pirâmide.
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
em relação a
se
variar e
e
permanecerem constantes.
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma pirâmide com base retangular. O volume da pirâmide é dado pela fórmula
, onde
é a área da base e
é a altura. A base tem comprimento
e largura
. Nosso objetivo aqui é descobrir como o volume
muda instantaneamente quando a altura
muda, mantendo
e
constantes.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular a área da base
. Como a base é um retângulo, a área é simplesmente o comprimento vezes a largura:
. Como
e
são constantes,
também é uma constante.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do volume da pirâmide:
. Queremos encontrar a taxa de variação instantânea de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 4
Para encontrar
, vamos derivar a expressão de
em relação a
. A derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Como
é uma constante, a derivada fica mais simples:
E sabemos que
, então:
Passo 6
Substituindo
por
, temos:
Resposta
A fórmula para a taxa de variação instantânea de
em relação a
é: