Utilizando o método da variação dos parâmetros, determine a solução geral da EDO dada.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem. Para resolver usando variação dos parâmetros, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma
.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Como
, a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Então, as raízes são
e
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a solução particular usando o método da variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos as funções da solução homogênea:
Passo 7
No método da variação dos parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 8
Para encontrar
e
, usamos as seguintes equações:
Aqui,
vem da equação original dividida por 4 (coeficiente de
).
Passo 9
Calculando as derivadas de
e
:
Passo 10
Substituindo na segunda equação:
Passo 11
Agora, temos o sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 12
Multiplicando a segunda equação por 2 para simplificar:
Agora, temos:
Passo 13
Somando as duas equações:
Passo 14
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 15
Agora, integramos
e
para encontrar
e
:
Para
, vamos usar integração por partes.
Passo 16
Integrando
:
Usando integração por partes:
Seja
e
, então
e
.
Então:
Portanto:
Passo 17
Agora, substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 18
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Podemos fatorar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Considere uma pirâmide de base retangular, sabendo que o volume da pirâmide é
, onde
é a área da base e
é a altura da pirâmide. Sejam
o comprimento e
a largura da base da pirâmide.
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de em relação a
se
variar e
e
permanecerem constantes.
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
Esboce o gráfico e encontre a área da região englobada pelas curvas
e
.
Calcule a derivada direcional de
em
no sentido e direção do vetor
.
Nos exercícios de 33 a 36, use a definição de área como somatório, tomando
como extremo direito, como extremo esquerdo e por fim como ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva
acima do intervalo especificado.