Utilizando o método da variação dos parâmetros, determine a solução geral da EDO dada. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem. Para resolver usando variação dos parâmetros, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma .

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Como , a equação característica é:

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Então, as raízes são e .

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a solução particular usando o método da variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos as funções da solução homogênea:

Passo 7

No método da variação dos parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde e são funções a serem determinadas.

Passo 8

Para encontrar e , usamos as seguintes equações:
Aqui, vem da equação original dividida por 4 (coeficiente de ).

Passo 9

Calculando as derivadas de e :

Passo 10

Substituindo na segunda equação:

Passo 11

Agora, temos o sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 12

Multiplicando a segunda equação por 2 para simplificar:
Agora, temos:

Passo 13

Somando as duas equações:

Passo 14

Subtraindo a segunda equação da primeira:

Passo 15

Agora, integramos e para encontrar e :
Para , vamos usar integração por partes.

Passo 16

Integrando :
Usando integração por partes:
Seja e , então e .
Então:
Portanto:

Passo 17

Agora, substituindo e na expressão de :
Simplificando:

Passo 18

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Podemos fatorar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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