Calcule a derivada direcional, em cada ponto, e na direção de cada vetor.
f(x, y) = x^2, P = (1, 1), v = (2, 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos a função e precisamos calcular a derivada direcional no ponto na direção do vetor .
Matéria envolvida: Derivadas direcionais, que nos mostram como a função está mudando em uma direção específica no espaço.
O que precisamos: Saber calcular o gradiente da função e entender como normalizar vetores para encontrar a direção correta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção em que a função aumenta mais rapidamente e é composto pelas derivadas parciais.
Gradiente de :
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 4

Em seguida, precisamos normalizar o vetor para que ele tenha comprimento 1. Isso é importante porque a derivada direcional requer uma direção unitária.
Norma de :
Vetor unitário na direção de :

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Substituindo os valores:
Podemos racionalizar o denominador:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

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