Calcule a derivada direcional, em cada ponto, e na direção de cada vetor.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos a função
e precisamos calcular a derivada direcional no ponto
na direção do vetor
.
Matéria envolvida: Derivadas direcionais, que nos mostram como a função está mudando em uma direção específica no espaço.
O que precisamos: Saber calcular o gradiente da função e entender como normalizar vetores para encontrar a direção correta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção em que a função aumenta mais rapidamente e é composto pelas derivadas parciais.
Gradiente de
:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 4
Em seguida, precisamos normalizar o vetor
para que ele tenha comprimento 1. Isso é importante porque a derivada direcional requer uma direção unitária.
Norma de
:
Vetor unitário na direção de
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Substituindo os valores:
Podemos racionalizar o denominador:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é
.