Questão 5 De acordo com as leis do resfriamento de Newton, a temperatura u(t) de um objeto satisfaz a equação diferencial
du/dt = -k(u - T)
onde T é a temperatura ambiente constante e k é uma constante positiva.
(b) Suponha que um prédio perde calor de acordo com a lei do resfriamento de Newton e que a taxa constante k tem o valor 0,15/h. Suponha que o interior está a uma temperatura de 21 graus C quando há uma falha no sistema de aquecimento. Se a temperatura externa for -12 grau C, quanto tempo vai levar para a temperatura no interior chegar a 0 graus C ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão trata da Lei do Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando ele está trocando calor com o ambiente. Nesse caso, estamos considerando um prédio que está perdendo calor. Para resolver isso, vamos precisar da equação diferencial que descreve essa lei:
Aqui:
  • é a temperatura interna do prédio no tempo .
  • é a temperatura ambiente externa (constante).
  • é a constante de resfriamento (no nosso caso, ).
Vamos usar essa equação para descobrir quanto tempo leva para a temperatura interna cair de para quando a temperatura externa é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a solução geral da equação diferencial da Lei do Resfriamento de Newton. A solução é dada por:
Onde:
  • é a temperatura inicial do interior ( ).
  • é a temperatura externa ( ).
  • é a constante de resfriamento ( ).
  • é o tempo que queremos encontrar.
Essa fórmula nos mostra como a temperatura interna se aproxima da temperatura externa ao longo do tempo.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação para encontrar . Queremos que . Então, temos:
Vamos simplificar:

Passo 4

Vamos isolar o termo com :
Agora, dividimos ambos os lados por 33:
Simplificando a fração:

Passo 5

Para resolver para , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Agora, isolamos :

Passo 6

Vamos calcular agora os valores:
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos o logaritmo natural:
Finalmente, dividimos por :

Resposta

Levará aproximadamente 6,74 horas para a temperatura no interior do prédio chegar a .

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