Questão 5 De acordo com as leis do resfriamento de Newton, a temperatura
de um objeto satisfaz a equação diferencial
onde
é a temperatura ambiente constante e
é uma constante positiva.
(b) Suponha que um prédio perde calor de acordo com a lei do resfriamento de Newton e que a taxa constante
tem o valor
. Suponha que o interior está a uma temperatura de
quando há uma falha no sistema de aquecimento. Se a temperatura externa for
, quanto tempo vai levar para a temperatura no interior chegar a
?
(b) Suponha que um prédio perde calor de acordo com a lei do resfriamento de Newton e que a taxa constante
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão trata da Lei do Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando ele está trocando calor com o ambiente. Nesse caso, estamos considerando um prédio que está perdendo calor. Para resolver isso, vamos precisar da equação diferencial que descreve essa lei:
Aqui:
-
é a temperatura interna do prédio no tempo . -
é a temperatura ambiente externa (constante). -
é a constante de resfriamento (no nosso caso, ).
Vamos usar essa equação para descobrir quanto tempo leva para a temperatura interna cair de
para
quando a temperatura externa é
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a solução geral da equação diferencial da Lei do Resfriamento de Newton. A solução é dada por:
Onde:
-
é a temperatura inicial do interior ( ). -
é a temperatura externa ( ). -
é a constante de resfriamento ( ). -
é o tempo que queremos encontrar.
Essa fórmula nos mostra como a temperatura interna
se aproxima da temperatura externa
ao longo do tempo.
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação para encontrar
. Queremos que
. Então, temos:
Vamos simplificar:
Passo 4
Vamos isolar o termo com
:
Agora, dividimos ambos os lados por 33:
Simplificando a fração:
Passo 5
Para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Agora, isolamos
:
Passo 6
Vamos calcular agora os valores:
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos o logaritmo natural:
Finalmente, dividimos por
:
Resposta
Levará aproximadamente 6,74 horas para a temperatura no interior do prédio chegar a
.