Calcule as integrais Duplas abaixo, e represente graficamente os sólidos:
integral duplaD(4-x^2-y^2) d x d y, onde D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular uma integral dupla: . A região é um círculo de raio 2 centrado na origem, já que . A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, que é mais fácil pra regiões circulares. Vamos precisar converter a integral para coordenadas polares e usar a fórmula da integral dupla nessa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como mudar de coordenadas cartesianas para polares. Em polares, e , e o elemento de área vira . A região sendo um círculo de raio 2, em polares, vai de 0 a 2 e vai de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função em coordenadas polares. Substituindo, fica . Sabemos que , então simplifica pra .

Passo 4

Então, a integral dupla fica:
integral duplaD(4 - x^2 - y^2) , dx , dy = integral0^2pi integral0^2 (4 - r^2) r , dr , dtheta
Aqui, o extra vem do Jacobiano da transformação para coordenadas polares.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^2 (4 - r^2) r , dr = integral0^2 (4r - r^3) dr :
integral 4r , dr = 2r^2 e integral r^3 , dr = r^44
Integrando termo a termo:
2r^2 - r^44 g|0^2 = (2 cdot 4 - 164) - (0 - 0) = (8 - 4) = 4
Então:

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^2pi 4 , dtheta = 4 cdot theta g|0^2pi = 4 cdot 2pi = 8pi

Resposta

A integral dupla vale .

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