Calcule as integrais Duplas abaixo, e represente graficamente os sólidos: , onde .
Passo 1
Beleza, então a gente tem que calcular uma integral dupla: . A região é um círculo de raio 2 centrado na origem, já que . A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, que é mais fácil pra regiões circulares. Vamos precisar converter a integral para coordenadas polares e usar a fórmula da integral dupla nessa forma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como mudar de coordenadas cartesianas para polares. Em polares, e , e o elemento de área vira . A região sendo um círculo de raio 2, em polares, vai de 0 a 2 e vai de 0 a .
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função em coordenadas polares. Substituindo, fica . Sabemos que , então simplifica pra .
Passo 4
Então, a integral dupla fica:
Aqui, o extra vem do Jacobiano da transformação para coordenadas polares.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Integrando termo a termo:
Então:
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na integral externa: