Se
, calcule a derivada direcional de
na direção
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função
na direção do vetor
no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que faz parte do estudo de cálculo multivariável. Vamos precisar entender como encontrar o gradiente da função e como usar esse gradiente na direção dada para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente, denotado por
, é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Para a nossa função
, vamos calcular as derivadas parciais em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Então, o gradiente da função
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico
. Substituindo
e
na expressão do gradiente, temos:
Passo 4
A seguir, precisamos garantir que a direção que nos foi dada é um vetor unitário. Um vetor unitário tem comprimento igual a 1. O vetor dado é
. Vamos verificar o comprimento dele:
Então, está tudo certo, já que o comprimento é 1.
Passo 5
Agora, para encontrar a derivada direcional, usamos a fórmula:
onde
é o gradiente da função e
é o vetor unitário na direção desejada. No nosso caso, temos:
e
Vamos calcular o produto escalar desses dois vetores:
Resposta
A derivada direcional de
na direção
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Calcule o limite, se existir:
e)
e)
Prove que
e
. Se
então
?
c)
Calcule os limites abaixo, justificando cada passagem pelas Propriedades do Limite:
b)
b)