Se , calcule a derivada direcional de na direção no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função na direção do vetor no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que faz parte do estudo de cálculo multivariável. Vamos precisar entender como encontrar o gradiente da função e como usar esse gradiente na direção dada para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente, denotado por , é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Para a nossa função , vamos calcular as derivadas parciais em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:
Então, o gradiente da função é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico . Substituindo e na expressão do gradiente, temos:

Passo 4

A seguir, precisamos garantir que a direção que nos foi dada é um vetor unitário. Um vetor unitário tem comprimento igual a 1. O vetor dado é . Vamos verificar o comprimento dele:
Então, está tudo certo, já que o comprimento é 1.

Passo 5

Agora, para encontrar a derivada direcional, usamos a fórmula:
onde é o gradiente da função e é o vetor unitário na direção desejada. No nosso caso, temos:
e
Vamos calcular o produto escalar desses dois vetores:

Resposta

A derivada direcional de na direção no ponto é .

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Calcule o limite, se existir:
e)
Prove que e . Se então ?
c)
Calcule os limites abaixo, justificando cada passagem pelas Propriedades do Limite:
b)