Calcule a derivada direcional de no ponto especificado e na direção indicada.
b) é o versor de

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente gradiente e produto escalar.

Passo 2

A derivada direcional mede como a função muda à medida que nos movemos a partir de um ponto específico na direção de um vetor dado. Para encontrar isso, precisamos primeiro calcular o gradiente da função .

Passo 3

O gradiente de uma função é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Matemáticamente, é dado por:
Vamos calcular essas derivadas para .

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :

Passo 6

Em seguida, precisamos encontrar o vetor unitário na direção de , que chamamos de versor. O vetor unitário é obtido dividindo cada componente do vetor original pelo seu módulo.

Passo 7

Calculando o módulo do vetor :
Então, o vetor unitário é:

Passo 8

Agora, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário :

Passo 9

Calculando o produto escalar:
Somando os resultados:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

Exercícios relacionados

Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação da variação de quando varia de a .
(f)
Calcule a derivada direcional de no ponto especificado e na direção indicada.
e) é o versor de