Calcule a derivada direcional de
no ponto especificado e na direção indicada.
b)
é o versor de
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente gradiente e produto escalar.
Passo 2
A derivada direcional mede como a função
muda à medida que nos movemos a partir de um ponto específico na direção de um vetor dado. Para encontrar isso, precisamos primeiro calcular o gradiente da função
.
Passo 3
O gradiente de uma função
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Matemáticamente, é dado por:
Vamos calcular essas derivadas para
.
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
:
Passo 6
Em seguida, precisamos encontrar o vetor unitário na direção de
, que chamamos de versor. O vetor unitário é obtido dividindo cada componente do vetor original pelo seu módulo.
Passo 7
Calculando o módulo do vetor
:
Então, o vetor unitário é:
Passo 8
Agora, a derivada direcional
é o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário
:
Passo 9
Calculando o produto escalar:
Somando os resultados:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.
Exercícios relacionados
Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação da variação de
quando
varia de
a
.
(f)
Calcule a derivada direcional de
no ponto especificado e na direção indicada.
e) é o versor de
e)