x^prime=(ll-52 & 32 -32 & 12) x, x(0)=binom3-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais lineares. A gente vai precisar usar um pouco de álgebra linear, especialmente noções de autovalores e autovetores, para resolver esse sistema. Além disso, vamos precisar aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara. Temos:
x^prime = -52 & 32 -32 & 12 x, x(0) = 3 -1
Aqui, é um vetor que depende do tempo , e a matriz acima é o que vamos chamar de matriz .

Passo 3

Para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores e os autovetores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores nos ajudarão a determinar a solução geral do sistema.
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo a equação característica:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 4

Calculando a matriz A - lambda I = -52 - lambda & 32 -32 & 12 - lambda :
det(A - lambda I) = (-52 - lambda)(12 - lambda) - (32)(-32)
Agora, calculamos o determinante:
det(A - lambda I) = (-52 - lambda)(12 - lambda) - (-94)
Simplificando:
= (lambda + 52)(lambda - 12) + 94
= lambda^2 + 52lambda - 12lambda - 54 + 94
Multiplicando os termos:
= lambda^2 + 2lambda + 1
lambda^2 + 2lambda + 1 = 0
Então, temos:

Passo 5

Resolvendo a equação característica:
lambda^2 + 2lambda + 1 = 0
Isso se fatora como:
(lambda + 1)^2 = 0
Portanto, temos um autovalor de multiplicidade 2:
lambda = -1

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes ao autovalor (A - lambda I)v = 0 . Para isso, resolvemos:
A - (-1)I = A + I = -52 + 1 & 32 -32 & 12 + 1 = -32 & 32 -32 & 32
Substituindo -32v1 + 32v2 = 0 :
- v1 + v2 = 0 implies v1 = v2
Resolvendo o sistema:
v = 1 1
Podemos simplificar dividindo por :
Então, um autovetor é:

Passo 7

Como temos um autovalor de multiplicidade 2 e apenas um autovetor, precisamos encontrar uma solução adicional. Isso envolve encontrar um vetor generalizado (A - lambda I)w = v que satisfaça:
1 1
Substituindo -32 & 32 -32 & 32 w1 w2 = 1 1 e w1 - w2 = -23 :
w = -23 0
Resolvendo isso, encontramos que:
Podemos escolher , então , portanto:

Passo 8

Agora, podemos escrever a solução geral do sistema como:
x(t) = C1 e^lambda t v + C2 (e^lambda t w + t e^lambda t v)
Substituindo 1 1 e -23 0 , x(t) = C1 e^-t 1 1 + C2 (e^-t -23 0 + t e^-t 1 1 ) :

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais 3 -1 . Substituindo 3 -1 = C1 1 1 + C2 -23 0 :
C1 - 23C2 = 3 C1 = -1
Isso nos dá o sistema:
-1 - 23C2 = 3 implies -23C2 = 4 implies C2 = -6
Resolvendo, temos . Substituindo na primeira equação:

Passo 10

Finalmente, substituímos x(t) = -e^-t 1 1 -6 (e^-t -23 0 + t e^-t 1 1 ) e x(t) = -e^-t + 4 e^-t + (-6t e^-t) -e^-t + 0 + (-6t e^-t) = 3e^-t -6t e^-t -e^-t -6t e^-t na solução geral:
Simplificando:

Resposta

A solução do sistema é:
x(t) = 3 e^-t - 6 t e^-t - e^-t - 6 t e^-t

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