Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais lineares. A gente vai precisar usar um pouco de álgebra linear, especialmente noções de autovalores e autovetores, para resolver esse sistema. Além disso, vamos precisar aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara. Temos:
Aqui, é um vetor que depende do tempo , e a matriz acima é o que vamos chamar de matriz .

Passo 3

Para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores e os autovetores da matriz . Os autovalores nos ajudarão a determinar a solução geral do sistema.
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo a equação característica:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 4

Calculando a matriz :
Agora, calculamos o determinante:
Simplificando:
Multiplicando os termos:
Então, temos:

Passo 5

Resolvendo a equação característica:
Isso se fatora como:
Portanto, temos um autovalor de multiplicidade 2:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes ao autovalor . Para isso, resolvemos:
Substituindo :
Resolvendo o sistema:
Podemos simplificar dividindo por :
Então, um autovetor é:

Passo 7

Como temos um autovalor de multiplicidade 2 e apenas um autovetor, precisamos encontrar uma solução adicional. Isso envolve encontrar um vetor generalizado que satisfaça:
Substituindo e :
Resolvendo isso, encontramos que:
Podemos escolher , então , portanto:

Passo 8

Agora, podemos escrever a solução geral do sistema como:
Substituindo e , :

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais . Substituindo :
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, temos . Substituindo na primeira equação:

Passo 10

Finalmente, substituímos e na solução geral:
Simplificando:

Resposta

A solução do sistema é:

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