Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais lineares. A gente vai precisar usar um pouco de álgebra linear, especialmente noções de autovalores e autovetores, para resolver esse sistema. Além disso, vamos precisar aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara. Temos:
Aqui,
é um vetor que depende do tempo
, e a matriz acima é o que vamos chamar de matriz
.
Passo 3
Para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores e os autovetores da matriz
. Os autovalores nos ajudarão a determinar a solução geral do sistema.
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo a equação característica:
onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 4
Calculando a matriz
:
Agora, calculamos o determinante:
Simplificando:
Multiplicando os termos:
Então, temos:
Passo 5
Resolvendo a equação característica:
Isso se fatora como:
Portanto, temos um autovalor de multiplicidade 2:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes ao autovalor
. Para isso, resolvemos:
Substituindo
:
Resolvendo o sistema:
Podemos simplificar dividindo por
:
Então, um autovetor é:
Passo 7
Como temos um autovalor de multiplicidade 2 e apenas um autovetor, precisamos encontrar uma solução adicional. Isso envolve encontrar um vetor generalizado
que satisfaça:
Substituindo
e
:
Resolvendo isso, encontramos que:
Podemos escolher
, então
, portanto:
Passo 8
Agora, podemos escrever a solução geral do sistema como:
Substituindo
e
,
:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais
. Substituindo
:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, temos
. Substituindo na primeira equação:
Passo 10
Finalmente, substituímos
e
na solução geral:
Simplificando:
Resposta
A solução do sistema é:
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