(f) sumn=1^+infty 1n(n+1)(n+2)=14

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é o problema. A gente tem uma soma infinita da expressão 1n(n+1)(n+2). O conteúdo aqui envolve séries infinitas e frações parciais, que são maneiras de quebrar frações complicadas em partes mais fáceis de somar. Vamos precisar usar decomposição em frações parciais para simplificar a expressão e depois somar os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor 1n(n+1)(n+2) em frações mais simples. A ideia é encontrar números A, B e C tais que:
1n(n+1)(n+2) = An + Bn+1 + Cn+2
Multiplicando ambos os lados por n(n+1)(n+2) para eliminar os denominadores, temos:
1 = A(n+1)(n+2) + Bn(n+2) + Cn(n+1)
Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C substituindo valores de n que simplifiquem a equação.

Passo 3

Vamos escolher valores de n que façam o cálculo mais fácil:
  • Se n = 0:
    1 = A(1)(2) Rightarrow 1 = 2A Rightarrow A = 12
  • Se n = -1:
    1 = B(-1)(1) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1
  • Se n = -2:
    1 = C(-2)(-1) Rightarrow 1 = 2C Rightarrow C = 12
Então, os valores são A = 12, B = -1 e C = 12.

Passo 4

Agora, substituímos A, B e C na decomposição original:
1n(n+1)(n+2) = 12n + -1n+1 + 12n+2 = 12n - 1n+1 + 12(n+2)

Passo 5

Com a expressão simplificada, vamos somar os termos de n=1 até o infinito:
sumn=1^+infty ( 12n - 1n+1 + 12(n+2) )
Essa soma é telescópica, ou seja, muitos termos vão se cancelar ao somar.

Passo 6

Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão:
Para n=1:
12 - 12 + 16
Para n=2:
14 - 13 + 18
Para n=3:
16 - 14 + 110
E assim por diante. Notamos que muitos termos se cancelam quando somamos todos.

Passo 7

Após o cancelamento dos termos intermediários, restam apenas os termos iniciais e os limites quando n vai para o infinito. Calculando isso, descobrimos que a soma total converge para 14.

Resposta

sumn=1^+infty 1n(n+1)(n+2) = 14

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