(f)

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é o problema. A gente tem uma soma infinita da expressão . O conteúdo aqui envolve séries infinitas e frações parciais, que são maneiras de quebrar frações complicadas em partes mais fáceis de somar. Vamos precisar usar decomposição em frações parciais para simplificar a expressão e depois somar os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor em frações mais simples. A ideia é encontrar números A, B e C tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C substituindo valores de n que simplifiquem a equação.

Passo 3

Vamos escolher valores de n que façam o cálculo mais fácil:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
Então, os valores são , e .

Passo 4

Agora, substituímos A, B e C na decomposição original:

Passo 5

Com a expressão simplificada, vamos somar os termos de n=1 até o infinito:
Essa soma é telescópica, ou seja, muitos termos vão se cancelar ao somar.

Passo 6

Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão:
Para :
Para :
Para :
E assim por diante. Notamos que muitos termos se cancelam quando somamos todos.

Passo 7

Após o cancelamento dos termos intermediários, restam apenas os termos iniciais e os limites quando n vai para o infinito. Calculando isso, descobrimos que a soma total converge para .

Resposta

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(m)
Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação da variação de quando varia de a .
Calcule a derivada direcional de no ponto especificado e na direção indicada.
b) é o versor de