(f)
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é o problema. A gente tem uma soma infinita da expressão
. O conteúdo aqui envolve séries infinitas e frações parciais, que são maneiras de quebrar frações complicadas em partes mais fáceis de somar. Vamos precisar usar decomposição em frações parciais para simplificar a expressão e depois somar os termos.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor
em frações mais simples. A ideia é encontrar números A, B e C tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C substituindo valores de n que simplifiquem a equação.
Passo 3
Vamos escolher valores de n que façam o cálculo mais fácil:
-
Se
: -
Se
: -
Se
:
Então, os valores são
,
e
.
Passo 4
Agora, substituímos A, B e C na decomposição original:
Passo 5
Com a expressão simplificada, vamos somar os termos de n=1 até o infinito:
Essa soma é telescópica, ou seja, muitos termos vão se cancelar ao somar.
Passo 6
Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante. Notamos que muitos termos se cancelam quando somamos todos.
Passo 7
Após o cancelamento dos termos intermediários, restam apenas os termos iniciais e os limites quando n vai para o infinito. Calculando isso, descobrimos que a soma total converge para
.
Resposta
Exercícios relacionados
(m)
Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação da variação de
quando
varia de
a
.
Calcule a derivada direcional de
no ponto especificado e na direção indicada.
b) é o versor de
b)