Calcule a derivada direcional de
no ponto especificado e na direção indicada.
e)
é o versor de
e)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar entender de derivadas parciais e vetores unitários, que são partes da matéria de cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Passo 6
Em seguida, vamos normalizar o vetor
para obter o versor. A normalização é importante porque a derivada direcional depende da direção, não do tamanho do vetor.
Passo 7
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada direcional de
no ponto especificado e na direção indicada.
b) é o versor de
b)
Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação da variação de
quando
varia de
a
.
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é
.
b) Encontre a direção e magnitude da taxa de variação de em
.
b) Encontre a direção e magnitude da taxa de variação de