Calcule a derivada direcional de f no ponto especificado e na direção indicada.
e) f(x, y) = (x - y) / (x + y), (x0, y0) = (2, -1), v é o versor de 3i + 4j

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender de derivadas parciais e vetores unitários, que são partes da matéria de cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :

Passo 6

Em seguida, vamos normalizar o vetor para obter o versor. A normalização é importante porque a derivada direcional depende da direção, não do tamanho do vetor.

Passo 7

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

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