Calcule a derivada direcional de no ponto especificado e na direção indicada.
f)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, precisamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular as derivadas parciais da função e o vetor direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Primeiro, calculamos e :
Então,
Passo 4
Agora, precisamos normalizar o vetor direção . A derivada direcional é calculada usando o vetor unitário na direção de .
O vetor já é um vetor unitário, pois:
Então, não precisamos alterar o vetor direção.
Passo 5
A fórmula da derivada direcional é dada por:
Onde é o vetor unitário na direção desejada.
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos calcular cada termo separadamente:
Agora, somamos os resultados:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .