Calcule a derivada direcional de f no ponto especificado e na direção indicada.
f) f(x, y) = y^2 * tg^2(x), (x0, y0) = (pi/3, 2), v = -raiz(3)/2 * i + 1/2 * j

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, precisamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular as derivadas parciais da função e o vetor direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Primeiro, calculamos e :
Então,

Passo 4

Agora, precisamos normalizar o vetor direção . A derivada direcional é calculada usando o vetor unitário na direção de .
O vetor já é um vetor unitário, pois:
Então, não precisamos alterar o vetor direção.

Passo 5

A fórmula da derivada direcional é dada por:
Onde é o vetor unitário na direção desejada.
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos calcular cada termo separadamente:
Agora, somamos os resultados:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

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