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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma soma infinita do tipo . A matéria que vamos usar é séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre eles. Para isso, vamos precisar saber como dividir a série em partes mais simples e aplicar a fórmula das séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a soma original em duas partes. Dá pra reescrever a expressão assim:
Isso facilita porque agora temos duas séries separadas para calcular.

Passo 3

Vamos calcular a primeira soma: . A gente pode simplificar isso da seguinte maneira:
Aqui, a gente tirou o 3 de dentro da soma. Agora, temos uma série geométrica com a razão .

Passo 4

Agora, usamos a fórmula da série geométrica infinita:
Aplicando isso na nossa soma:
Então, a primeira soma vale .

Passo 5

Agora, vamos para a segunda soma: . Podemos reescrever isso como:
Aqui, a razão da série geométrica é . Usando a mesma fórmula da série geométrica:
Então, a segunda soma vale .

Resposta

Somando as duas partes que calculamos:
Portanto, o valor da soma infinita é .

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(f)
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