(m)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma soma infinita do tipo
. A matéria que vamos usar é séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre eles. Para isso, vamos precisar saber como dividir a série em partes mais simples e aplicar a fórmula das séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a soma original em duas partes. Dá pra reescrever a expressão assim:
Isso facilita porque agora temos duas séries separadas para calcular.
Passo 3
Vamos calcular a primeira soma:
. A gente pode simplificar isso da seguinte maneira:
Aqui, a gente tirou o 3 de dentro da soma. Agora, temos uma série geométrica com a razão
.
Passo 4
Agora, usamos a fórmula da série geométrica infinita:
Aplicando isso na nossa soma:
Então, a primeira soma vale
.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda soma:
. Podemos reescrever isso como:
Aqui, a razão da série geométrica é
. Usando a mesma fórmula da série geométrica:
Então, a segunda soma vale
.
Resposta
Somando as duas partes que calculamos:
Portanto, o valor da soma infinita é
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada direcional de
no ponto especificado e na direção indicada.
f)
f)
(f)
Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação da variação de
quando
varia de
a
.