(m) sumn=1^+infty 3+(-1)^n3^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma soma infinita do tipo sumn=1^+infty 3+(-1)^n3^n. A matéria que vamos usar é séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre eles. Para isso, vamos precisar saber como dividir a série em partes mais simples e aplicar a fórmula das séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a soma original em duas partes. Dá pra reescrever a expressão assim:
sumn=1^+infty 3 + (-1)^n3^n = sumn=1^+infty 33^n + sumn=1^+infty (-1)^n3^n
Isso facilita porque agora temos duas séries separadas para calcular.

Passo 3

Vamos calcular a primeira soma: sumn=1^+infty 33^n. A gente pode simplificar isso da seguinte maneira:
sumn=1^+infty 33^n = 3 sumn=1^+infty (13)^n
Aqui, a gente tirou o 3 de dentro da soma. Agora, temos uma série geométrica com a razão r = 13.

Passo 4

Agora, usamos a fórmula da série geométrica infinita:
sumn=1^+infty r^n = r1 - r (onde |r| < 1)
Aplicando isso na nossa soma:
3 sumn=1^+infty (13)^n = 3 ( 131 - 13 ) = 3 ( 1323 ) = 3 times 12 = 32
Então, a primeira soma vale 32.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda soma: sumn=1^+infty (-1)^n3^n. Podemos reescrever isso como:
sumn=1^+infty (-13)^n
Aqui, a razão da série geométrica é r = -13. Usando a mesma fórmula da série geométrica:
sumn=1^+infty (-13)^n = -131 - (-13) = -131 + 13 = -1343 = -14
Então, a segunda soma vale -14.

Resposta

Somando as duas partes que calculamos:
32 + (-14) = 32 - 14 = 64 - 14 = 54
Portanto, o valor da soma infinita é boxeddfrac54.

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