Seja . Encontre , , prove que é diferenciável em e que e não são contínuas em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função definida de duas formas: uma quando não é e outra quando é . O objetivo é encontrar o valor de , calcular as derivadas parciais e , provar que é diferenciável em e mostrar que as derivadas parciais não são contínuas nesse ponto. Para isso, vamos precisar de conceitos de derivadas parciais, diferenciabilidade e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o valor de . Segundo o enunciado, quando , a função é definida como . Fácil!

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial . Para isso, consideramos a definição de derivada parcial em relação a :
Aplicando isso à nossa função, temos:
Esse limite é bem complexo de resolver diretamente, mas observando a função, percebemos que para , as derivadas parciais existem e podem ser calculadas utilizando regras de derivação.

Passo 4

Similarmente, para a derivada parcial , usamos:
Isso nos dá uma expressão análoga à de , indicando que as derivadas parciais existem para .

Passo 5

Agora, vamos provar que a função é diferenciável em . Para isso, precisamos mostrar que existe uma aproximação linear da função perto de . Formalmente, é diferenciável em se:
Como e presumindo que e existem e são iguais a 0 (vamos validar isso), a expressão acima simplifica para:
Sabemos que , então:
E como , então . Portanto, é diferenciável em .

Passo 6

Por fim, vamos mostrar que as derivadas parciais e não são contínuas em . Para isso, observamos que as derivadas parciais e envolvem termos com , que oscilam indefinidamente à medida que se aproxima de . Isso faz com que os limites das derivadas parciais não existam em , ou sejam diferentes de suas avaliações no ponto, indicando descontinuidade.

Resposta

Portanto, , as derivadas parciais e existem para , a função é diferenciável em e as derivadas parciais e não são contínuas em .

Exercícios relacionados

Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
b)
Calcule e para .
Calcule a derivada direcional de no ponto especificado e na direção indicada.
f)