Seja
. Encontre
,
, prove que
é diferenciável em
e que
e
não são contínuas em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função
definida de duas formas: uma quando
não é
e outra quando é
. O objetivo é encontrar o valor de
, calcular as derivadas parciais
e
, provar que
é diferenciável em
e mostrar que as derivadas parciais não são contínuas nesse ponto. Para isso, vamos precisar de conceitos de derivadas parciais, diferenciabilidade e continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o valor de
. Segundo o enunciado, quando
, a função é definida como
. Fácil!
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial
. Para isso, consideramos a definição de derivada parcial em relação a
:
Aplicando isso à nossa função, temos:
Esse limite é bem complexo de resolver diretamente, mas observando a função, percebemos que para
, as derivadas parciais existem e podem ser calculadas utilizando regras de derivação.
Passo 4
Similarmente, para a derivada parcial
, usamos:
Isso nos dá uma expressão análoga à de
, indicando que as derivadas parciais existem para
.
Passo 5
Agora, vamos provar que a função
é diferenciável em
. Para isso, precisamos mostrar que existe uma aproximação linear da função perto de
. Formalmente,
é diferenciável em
se:
Como
e presumindo que
e
existem e são iguais a 0 (vamos validar isso), a expressão acima simplifica para:
Sabemos que
, então:
E como
, então
. Portanto,
é diferenciável em
.
Passo 6
Por fim, vamos mostrar que as derivadas parciais
e
não são contínuas em
. Para isso, observamos que as derivadas parciais
e
envolvem termos com
, que oscilam indefinidamente à medida que
se aproxima de
. Isso faz com que os limites das derivadas parciais não existam em
, ou sejam diferentes de suas avaliações no ponto, indicando descontinuidade.
Resposta
Portanto,
, as derivadas parciais
e
existem para
, a função
é diferenciável em
e as derivadas parciais
e
não são contínuas em
.
Exercícios relacionados
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
b)
b)
Calcule
e
para
.
Calcule a derivada direcional de
no ponto especificado e na direção indicada.
f)
f)