Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
d) f(x, y)=cccx y^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se a função é diferenciável. Estamos trabalhando com funções de duas variáveis e vamos utilizar conceitos de derivadas parciais e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto . Para isso, calculamos o limite de quando se aproxima de .

Passo 3

Calculando o limite:
lim(x, y) to (0,0) x y^3x^2+y^2
Vamos usar coordenadas polares onde limr to 0 r costheta cdot (r sintheta)^3r^2 = limr to 0 r costheta cdot r^3 sin^3thetar^2 = limr to 0 r^2 costheta sin^3theta = 0 e . Substituindo:
Como o limite é 0 e , a função é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h = limh to 0 0 - 0h = 0 em fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k = limk to 0 0 - 0k = 0 .
Para a derivada parcial em relação a :
Para a derivada parcial em relação a :
Ambas as derivadas parciais existem e são iguais a 0.

Passo 5

Para concluir que lim(h, k) to (0,0) f(h, k) - f(0,0) - fx(0,0) h - fy(0,0) kraizh^2 + k^2 = 0 é diferenciável em lim(h, k) to (0,0) h k^3h^2+k^2raizh^2 + k^2 = lim(h, k) to (0,0) h k^3(h^2+k^2)^3/2 , precisamos verificar se:
limr to 0 r costheta cdot (r sintheta)^3r^3 = limr to 0 costheta sin^3theta = costheta sin^3theta
Substituindo os valores:
Usando coordenadas polares novamente:
Esse limite não depende de e é limitado por , mas como depende de , o limite geral é .

Resposta

A função é diferenciável no ponto .

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