Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
d)
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Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se a função
é diferenciável. Estamos trabalhando com funções de duas variáveis e vamos utilizar conceitos de derivadas parciais e continuidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua no ponto
. Para isso, calculamos o limite de
quando
se aproxima de
.
Passo 3
Calculando o limite:
Vamos usar coordenadas polares onde
e
. Substituindo:
Como o limite é 0 e
, a função é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em
.
Para a derivada parcial em relação a
:
Para a derivada parcial em relação a
:
Ambas as derivadas parciais existem e são iguais a 0.
Passo 5
Para concluir que
é diferenciável em
, precisamos verificar se:
Substituindo os valores:
Usando coordenadas polares novamente:
Esse limite não depende de
e é limitado por
, mas como depende de
, o limite geral é
.
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
.