Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou apresenta uma série infinita envolvendo a função seno de . O enunciado é:
Vamos resolver isso usando conhecimentos de séries geométricas e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série no lado esquerdo da igualdade. Observamos que cada termo da série tem a forma:
Isso sugere que estamos lidando com uma série geométrica infinita, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum.

Passo 3

Para somar uma série geométrica infinita, usamos a fórmula:
desde que . Aqui, é o primeiro termo e é a razão da série.

Passo 4

Vamos reescrever a série dada para identificar e :
Podemos fatorar :
Agora, dentro dos parênteses, temos uma série geométrica onde:
  • O primeiro termo
  • A razão

Passo 5

Aplicando a fórmula da série geométrica infinita:
Substituindo e :

Passo 6

Voltando à nossa expressão fatorada:
Agora, para simplificar o denominador:
Então, substituindo de volta:

Resposta

Portanto, a soma da série infinita é:

Exercícios relacionados

Seja . Encontre , , prove que é diferenciável em e que e não são contínuas em .
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
b)
Calcule a derivada direcional de no ponto especificado e na direção indicada.
f)