Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou apresenta uma série infinita envolvendo a função seno de
. O enunciado é:
Vamos resolver isso usando conhecimentos de séries geométricas e manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série no lado esquerdo da igualdade. Observamos que cada termo da série tem a forma:
Isso sugere que estamos lidando com uma série geométrica infinita, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum.
Passo 3
Para somar uma série geométrica infinita, usamos a fórmula:
desde que
. Aqui,
é o primeiro termo e
é a razão da série.
Passo 4
Vamos reescrever a série dada para identificar
e
:
Podemos fatorar
:
Agora, dentro dos parênteses, temos uma série geométrica onde:
- O primeiro termo
- A razão
Passo 5
Aplicando a fórmula da série geométrica infinita:
Substituindo
e
:
Passo 6
Voltando à nossa expressão fatorada:
Agora, para simplificar o denominador:
Então, substituindo de volta:
Resposta
Portanto, a soma da série infinita é:
Exercícios relacionados
Seja
. Encontre
,
, prove que
é diferenciável em
e que
e
não são contínuas em
.
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
b)
b)
Calcule a derivada direcional de
no ponto especificado e na direção indicada.
f)
f)