sen x-12 sen^2 x+14 sen^3 x-18 sen^4 x+cdots+(-1)^n 12^n sen^n+1 x+cdots=2 sen x2+sen x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou apresenta uma série infinita envolvendo a função seno de sen x - 12 sen^2 x + 14 sen^3 x - 18 sen^4 x + cdots + (-1)^n 12^n sen^n+1 x + cdots = 2 sen x2 + sen x . O enunciado é:
Vamos resolver isso usando conhecimentos de séries geométricas e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série no lado esquerdo da igualdade. Observamos que cada termo da série tem a forma:
(-1)^n 12^n sen^n+1 x
Isso sugere que estamos lidando com uma série geométrica infinita, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum.

Passo 3

Para somar uma série geométrica infinita, usamos a fórmula:
sumn=0^infty ar^n = a1 - r
desde que . Aqui, é o primeiro termo e é a razão da série.

Passo 4

Vamos reescrever a série dada para identificar sen x - 12 sen^2 x + 14 sen^3 x - 18 sen^4 x + cdots e sen x (1 - 12 sen x + 14 sen^2 x - 18 sen^3 x + cdots ) :
Podemos fatorar :
Agora, dentro dos parênteses, temos uma série geométrica onde:
  • O primeiro termo
  • A razão

Passo 5

Aplicando a fórmula da série geométrica infinita:
sumn=0^infty ar^n = a1 - r
Substituindo 1 + (-12 sen x) + (-12 sen x)^2 + cdots = 11 - (-12 sen x) = 11 + 12 sen x e :

Passo 6

Voltando à nossa expressão fatorada:
sen x (11 + 12 sen x) = sen x1 + 12 sen x
Agora, para simplificar o denominador:
1 + 12 sen x = 2 + sen x2
Então, substituindo de volta:
sen x2 + sen x2 = 2 sen x2 + sen x

Resposta

Portanto, a soma da série infinita é:
2 sen x2 + sen x

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