A densidade de uma chapa retangular em qualquer ponto do plano x y é rho = 1 / raiz(x^2 + y^2 + 3).
b) Encontre a direção e magnitude da taxa de variação de rho em (3,2).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma chapa retangular cuja densidade em qualquer ponto (x, y) é dada pela função . A parte b) quer que a gente encontre a direção e a magnitude da taxa de variação dessa densidade no ponto . Isso significa que vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e o gradiente para descobrir como a densidade está mudando nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação da densidade. Em cálculo multivariável, a taxa de variação de uma função em um ponto é dada pelo vetor gradiente. O gradiente aponta na direção em que a função aumenta mais rapidamente, e a magnitude do gradiente nos dá a rapidez com que a função está aumentando nessa direção.

Passo 3

Para encontrar o gradiente de rho, precisamos calcular as derivadas parciais de rho em relação a x e y. Vamos começar com a derivada parcial em relação a x:
A derivada parcial de rho com relação a x é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de rho em relação a y:

Passo 5

Com as derivadas parciais em mãos, podemos agora formar o vetor gradiente :

Passo 6

Vamos avaliar o gradiente no ponto . Primeiro, calculamos :
Então, o gradiente no ponto fica:
Sabendo que , temos:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a magnitude do gradiente, que nos dá a taxa de variação da densidade:

Passo 8

Para encontrar a direção, olhamos para o próprio vetor gradiente. A direção do gradiente é dada pelos componentes do vetor, ou seja, a direção é na direção de . Para expressar isso como um vetor unitário (com magnitude 1), dividimos cada componente pela magnitude:
çã

Resposta

A direção da taxa de variação de rho em é na direção do vetor e a magnitude dessa taxa de variação é .

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