A densidade de uma chapa retangular em qualquer ponto do plano
é
.
b) Encontre a direção e magnitude da taxa de variação de
em
.
b) Encontre a direção e magnitude da taxa de variação de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma chapa retangular cuja densidade em qualquer ponto
é dada pela função
. A parte b) quer que a gente encontre a direção e a magnitude da taxa de variação dessa densidade no ponto
. Isso significa que vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e o gradiente para descobrir como a densidade está mudando nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação da densidade. Em cálculo multivariável, a taxa de variação de uma função em um ponto é dada pelo vetor gradiente. O gradiente aponta na direção em que a função aumenta mais rapidamente, e a magnitude do gradiente nos dá a rapidez com que a função está aumentando nessa direção.
Passo 3
Para encontrar o gradiente de
, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Vamos começar com a derivada parcial em relação a
:
A derivada parcial de
com relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Com as derivadas parciais em mãos, podemos agora formar o vetor gradiente
:
Passo 6
Vamos avaliar o gradiente no ponto
. Primeiro, calculamos
:
Então, o gradiente no ponto
fica:
Sabendo que
, temos:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a magnitude do gradiente, que nos dá a taxa de variação da densidade:
Passo 8
Para encontrar a direção, olhamos para o próprio vetor gradiente. A direção do gradiente é dada pelos componentes do vetor, ou seja, a direção é na direção de
. Para expressar isso como um vetor unitário (com magnitude 1), dividimos cada componente pela magnitude:
Resposta
A direção da taxa de variação de
em
é na direção do vetor
e a magnitude dessa taxa de variação é
.
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Calcule a derivada direcional de
no ponto especificado e na direção indicada.
e) é o versor de
e)
Medem-se os dois lados mais curtos de um triângulo retângulo, obtendo-se 3 cm e 4 cm , respectivamente, com erro possível de
. Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação do erro máximo nos seguintes valores calculados:
a) A hipotenusa;
a) A hipotenusa;
Calcule a derivada direcional de
no ponto especificado e na direção indicada.
g)
g)