Calcule a derivada direcional de f no ponto especificado e na direção indicada.
h) f(x, y)=e^-3 x cos 3 y,(x0, y0)=(-pi12, 0), v=(cos (-pi12), sen(-pi12))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos calcular a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Isso envolve conceitos de cálculo como derivadas parciais, gradiente e normalização de vetores.

Passo 2

Para calcular a derivada direcional, primeiro precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor composto pelas derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda em cada direção individualmente.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x ( e^-3x cos 3y ) = -3 e^-3x cos 3y em relação a partial fpartial y = partialpartial y ( e^-3x cos 3y ) = -3 e^-3x sen 3y :
nabla f = ( -3 e^-3x cos 3y, -3 e^-3x sen 3y )
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto nabla f(-pi12, 0) = ( -3 e^-3 (-pi12) cos 0, -3 e^-3 (-pi12) sen 0 ) :
Simplificando:
Então:
cos 0 = 1 e sen 0 = 0

Passo 5

Agora, precisamos normalizar o vetor de direção para obter um vetor unitário |v| = raizcos^2(-pi12) + sen^2(-pi12) = raiz1 = 1 . A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu comprimento (magnitude).
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Como , o vetor já é um vetor unitário, ou seja, .

Passo 6

Agora, a derivada direcional Du f(-pi12, 0) = nabla f(-pi12, 0) cdot u = ( -3 e^pi4, 0 ) cdot ( cos(-pi12), sen(-pi12) ) no ponto Du f(-pi12, 0) = -3 e^pi4 cos(-pi12) + 0 cdot sen(-pi12) = -3 e^pi4 cos(pi12) é o produto escalar do gradiente nesse ponto com o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de Du f = -3 e^pi4 cos(pi12) approx -8.084 no ponto na direção indicada é:

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