Calcule a derivada direcional de
no ponto especificado e na direção indicada.
h)
h)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e queremos calcular a derivada direcional dessa função no ponto
na direção do vetor . Isso envolve conceitos de cálculo como derivadas parciais, gradiente e normalização de vetores.
Passo 2
Para calcular a derivada direcional, primeiro precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor composto pelas derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda em cada direção individualmente.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Então, o gradiente de
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Simplificando:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos normalizar o vetor de direção para obter um vetor unitário
. A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu comprimento (magnitude).
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Como
, o vetor
já é um vetor unitário, ou seja,
.
Passo 6
Agora, a derivada direcional
no ponto
é o produto escalar do gradiente nesse ponto com o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção indicada é:
Exercícios relacionados
Medem-se os dois lados mais curtos de um triângulo retângulo, obtendo-se 3 cm e 4 cm , respectivamente, com erro possível de
. Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação do erro máximo nos seguintes valores calculados:
b) A área do triângulo.
b) A área do triângulo.
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
f)
f)
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais
.
( ) Sejam
e
polinômios com coeficientes inteiros em
, com
. Se o grau de
for menor que de
, então
converge.