Calcule a derivada direcional de no ponto especificado e na direção indicada.
h)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos calcular a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Isso envolve conceitos de cálculo como derivadas parciais, gradiente e normalização de vetores.

Passo 2

Para calcular a derivada direcional, primeiro precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor composto pelas derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda em cada direção individualmente.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Simplificando:
Então:

Passo 5

Agora, precisamos normalizar o vetor de direção para obter um vetor unitário . A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu comprimento (magnitude).
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Como , o vetor já é um vetor unitário, ou seja, .

Passo 6

Agora, a derivada direcional no ponto é o produto escalar do gradiente nesse ponto com o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção indicada é:

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Medem-se os dois lados mais curtos de um triângulo retângulo, obtendo-se 3 cm e 4 cm , respectivamente, com erro possível de . Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação do erro máximo nos seguintes valores calculados:
b) A área do triângulo.
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
f)
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais .
( ) Sejam e polinômios com coeficientes inteiros em , com . Se o grau de for menor que de , então converge.