Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente precisa verificar se a função
é diferenciável no ponto
. A matéria aqui é sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como continuidade, derivadas parciais e o critério de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função
é contínua no ponto
. A continuidade é importante porque se a função não for contínua nesse ponto, ela definitivamente não é diferenciável ali.
A função está definida de duas maneiras:
- Para
: - Para
:
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
.
Passo 3
Para calcular esse limite, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Assim,
representa a distância até o ponto
.
Substituindo na função:
Note que
foi cancelado, então o limite depende apenas de
. Vamos ver qual é o valor dessa expressão para diferentes ângulos
.
Passo 4
Observando a expressão
, percebemos que ela não depende de
, o que significa que o limite pode variar com
.
Por exemplo:
- Se
, temos e , então: - Se
, temos , então:
Como os limites são diferentes para diferentes valores de
, isso significa que o limite de
quando
se aproxima de
não existe.
Passo 5
Já que o limite de
não existe quando
se aproxima de
, concluímos que a função
não é contínua nesse ponto. E como a diferenciabilidade exige que a função seja contínua, podemos afirmar que
não é diferenciável em
.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
.
Exercícios relacionados
Seja
. Calcule as derivadas parciais de
.
Discuta a continuidade das funções abaixo:
d)
d)
Medem-se os dois lados mais curtos de um triângulo retângulo, obtendo-se 3 cm e 4 cm , respectivamente, com erro possível de
. Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação do erro máximo nos seguintes valores calculados:
b) A área do triângulo.
b) A área do triângulo.
Calcule a derivada direcional de
no ponto especificado e na direção indicada.
h)
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