Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
f) f(x, y)=ccc3 x^2 y^2x^4+y^4 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente precisa verificar se a função é diferenciável no ponto . A matéria aqui é sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como continuidade, derivadas parciais e o critério de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função f(x, y) = 3x^2 y^2x^4 + y^4 é contínua no ponto f(0,0) = 0 . A continuidade é importante porque se a função não for contínua nesse ponto, ela definitivamente não é diferenciável ali.
A função está definida de duas maneiras:
  • Para :
  • Para :
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de .

Passo 3

Para calcular esse limite, vamos usar coordenadas polares, onde f(r cos theta, r sin theta) = 3 (r cos theta)^2 (r sin theta)^2(r cos theta)^4 + (r sin theta)^4 = 3 r^4 cos^2 theta sin^2 thetar^4 (cos^4 theta + sin^4 theta) = 3 cos^2 theta sin^2 thetacos^4 theta + sin^4 theta e . Assim, representa a distância até o ponto .
Substituindo na função:
Note que foi cancelado, então o limite depende apenas de . Vamos ver qual é o valor dessa expressão para diferentes ângulos .

Passo 4

Observando a expressão 3 cdot 1^2 cdot 0^21^4 + 0^4 = 0 , percebemos que ela não depende de 3 (raiz22)^2 (raiz22)^2(raiz22)^4 + (raiz22)^4 = 3 cdot 12 cdot 1214 + 14 = 3 cdot 1412 = 32 cdot 14 = 32 , o que significa que o limite pode variar com .
Por exemplo:
  • Se , temos e , então:
  • Se , temos , então:
Como os limites são diferentes para diferentes valores de , isso significa que o limite de quando se aproxima de não existe.

Passo 5

Já que o limite de não existe quando se aproxima de , concluímos que a função não é contínua nesse ponto. E como a diferenciabilidade exige que a função seja contínua, podemos afirmar que não é diferenciável em .

Resposta

A função não é diferenciável no ponto .

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