Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
f)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente precisa verificar se a função é diferenciável no ponto . A matéria aqui é sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como continuidade, derivadas parciais e o critério de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função é contínua no ponto . A continuidade é importante porque se a função não for contínua nesse ponto, ela definitivamente não é diferenciável ali.
A função está definida de duas maneiras:
  • Para :
  • Para :
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de .

Passo 3

Para calcular esse limite, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, representa a distância até o ponto .
Substituindo na função:
Note que foi cancelado, então o limite depende apenas de . Vamos ver qual é o valor dessa expressão para diferentes ângulos .

Passo 4

Observando a expressão , percebemos que ela não depende de , o que significa que o limite pode variar com .
Por exemplo:
  • Se , temos e , então:
  • Se , temos , então:
Como os limites são diferentes para diferentes valores de , isso significa que o limite de quando se aproxima de não existe.

Passo 5

Já que o limite de não existe quando se aproxima de , concluímos que a função não é contínua nesse ponto. E como a diferenciabilidade exige que a função seja contínua, podemos afirmar que não é diferenciável em .

Resposta

A função não é diferenciável no ponto .

Exercícios relacionados

Seja . Calcule as derivadas parciais de .
Discuta a continuidade das funções abaixo:
d)
Medem-se os dois lados mais curtos de um triângulo retângulo, obtendo-se 3 cm e 4 cm , respectivamente, com erro possível de . Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação do erro máximo nos seguintes valores calculados:
b) A área do triângulo.
Calcule a derivada direcional de no ponto especificado e na direção indicada.
h)