Medem-se os dois lados mais curtos de um triângulo retângulo, obtendo-se 3 cm e 4 cm , respectivamente, com erro possível de
. Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação do erro máximo nos seguintes valores calculados:
b) A área do triângulo.
b) A área do triângulo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que envolve um triângulo retângulo com os dois lados mais curtos medidos como 3 cm e 4 cm, cada um com um erro possível de 0,02 cm. O conteúdo principal aqui é o diferencial, que usamos para aproximar erros em cálculos. Vamos precisar entender como calcular a área de um triângulo e como aplicar os diferenciais para estimar o erro máximo nessa área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um triângulo retângulo. A fórmula é:
No nosso caso, podemos considerar os lados de 3 cm e 4 cm como a base e a altura do triângulo.
Passo 3
Agora, sabemos que cada uma dessas medidas tem um erro máximo de 0,02 cm. Queremos descobrir qual é o erro máximo na área calculada devido a esses erros nos lados.
Passo 4
Para isso, vamos usar diferenciais. Se temos uma função de duas variáveis, como a área em termos da base
e da altura
:
O diferencial
que representa o erro na área é dado por:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na expressão do diferencial:
Passo 7
Como o erro em
e
é de 0,02 cm cada, substituímos
cm e os valores de
cm e
cm:
Passo 8
Fazendo as contas:
Resposta
O erro máximo na área calculada do triângulo é de 0,07 cm².
Exercícios relacionados
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
f)
f)
Seja
. Calcule as derivadas parciais de
.
Calcule a derivada direcional de
no ponto especificado e na direção indicada.
h)
h)
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais
.