Medem-se os dois lados mais curtos de um triângulo retângulo, obtendo-se 3 cm e 4 cm , respectivamente, com erro possível de . Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação do erro máximo nos seguintes valores calculados:
b) A área do triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve um triângulo retângulo com os dois lados mais curtos medidos como 3 cm e 4 cm, cada um com um erro possível de 0,02 cm. O conteúdo principal aqui é o diferencial, que usamos para aproximar erros em cálculos. Vamos precisar entender como calcular a área de um triângulo e como aplicar os diferenciais para estimar o erro máximo nessa área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um triângulo retângulo. A fórmula é:
No nosso caso, podemos considerar os lados de 3 cm e 4 cm como a base e a altura do triângulo.

Passo 3

Agora, sabemos que cada uma dessas medidas tem um erro máximo de 0,02 cm. Queremos descobrir qual é o erro máximo na área calculada devido a esses erros nos lados.

Passo 4

Para isso, vamos usar diferenciais. Se temos uma função de duas variáveis, como a área em termos da base e da altura :
O diferencial que representa o erro na área é dado por:

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 6

Substituindo essas derivadas na expressão do diferencial:

Passo 7

Como o erro em e é de 0,02 cm cada, substituímos cm e os valores de cm e cm:

Passo 8

Fazendo as contas:

Resposta

O erro máximo na área calculada do triângulo é de 0,07 cm².

Exercícios relacionados

Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
f)
Seja . Calcule as derivadas parciais de .
Calcule a derivada direcional de no ponto especificado e na direção indicada.
h)
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais .