Calcule a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor normal à superfície
no mesmo ponto. Escolha o vetor normal que forma ângulo agudo com o vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos uma função
e queremos calcular a derivada direcional dessa função no ponto
na direção de um vetor normal à superfície
nesse mesmo ponto. Além disso, temos que escolher o vetor normal que forma um ângulo agudo com o vetor
.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de gradiente (para encontrar a direção da derivada) e normal à superfície. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor normal à superfície
no ponto
. Para isso, podemos reescrever a equação da superfície de forma implícita:
O gradiente de
,
, nos dá o vetor normal à superfície. Calculando as derivadas parciais:
No ponto
, o vetor normal é:
Passo 3
Agora, precisamos escolher entre
e
o vetor normal que forma um ângulo agudo com o vetor
. Para garantir que o ângulo seja agudo, o produto escalar entre eles deve ser positivo.
Calculando o produto escalar com
:
Como deu negativo, escolhemos o vetor oposto
.
Passo 4
Vamos agora normalizar o vetor normal
para obter o vetor unitário na direção desejada. A magnitude de
é:
Assim, o vetor unitário
é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o gradiente da função
. As derivadas parciais são:
No ponto
, o gradiente é:
Passo 6
Finalmente, a derivada direcional
é o produto escalar entre
e
:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção escolhida é
.