Calcule a derivada direcional de f(x, y, z) = 6*x^2 - 3*y^2 - 4*z^2 no ponto (2, 1, 1) e na direção do vetor normal à superfície z = raiz(6 - x^2 - y^2) no mesmo ponto. Escolha o vetor normal que forma ângulo agudo com o vetor v = 4i - 3j - 7k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos uma função e queremos calcular a derivada direcional dessa função no ponto na direção de um vetor normal à superfície nesse mesmo ponto. Além disso, temos que escolher o vetor normal que forma um ângulo agudo com o vetor .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de gradiente (para encontrar a direção da derivada) e normal à superfície. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto . Para isso, podemos reescrever a equação da superfície de forma implícita:
O gradiente de , , nos dá o vetor normal à superfície. Calculando as derivadas parciais:
No ponto , o vetor normal é:

Passo 3

Agora, precisamos escolher entre e o vetor normal que forma um ângulo agudo com o vetor . Para garantir que o ângulo seja agudo, o produto escalar entre eles deve ser positivo.
Calculando o produto escalar com :
Como deu negativo, escolhemos o vetor oposto .

Passo 4

Vamos agora normalizar o vetor normal para obter o vetor unitário na direção desejada. A magnitude de é:
Assim, o vetor unitário é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o gradiente da função . As derivadas parciais são:
No ponto , o gradiente é:

Passo 6

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar entre e :
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção escolhida é .

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