O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por , sendo em volts, , cm.
Dê o versor da direção, a partir de , em que a taxa de variação do potencial é máxima e o valor desta taxa é máxima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um potencial elétrico , onde está em volts e em centímetros. A pergunta pede para encontrar o versor (ou seja, um vetor de direção com comprimento 1) da direção a partir de um ponto onde a taxa de variação do potencial é máxima, além de determinar o valor dessa taxa máxima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de maior variação de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o gradiente de uma função. O gradiente de , denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior variação de e cujo comprimento é a taxa máxima de variação de . Matemáticamente, o gradiente é dado por:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente de é:

Passo 5

Agora, para encontrar o versor da direção onde a taxa de variação do potencial é máxima, precisamos normalizar o gradiente. Ou seja, dividimos o gradiente pelo seu módulo (ou comprimento). O módulo do gradiente é:

Passo 6

Portanto, o versor da direção de máxima variação é:

Passo 7

E o valor da taxa máxima de variação do potencial é simplesmente o módulo do gradiente , que já calculamos:

Resposta

O versor da direção em que a taxa de variação do potencial é máxima é:
E o valor dessa taxa máxima de variação do potencial é:
í

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