O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por
, sendo
em volts,
,
cm.
Dê o versor da direção, a partir de
, em que a taxa de variação do potencial é máxima e o valor desta taxa é máxima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um potencial elétrico
, onde
está em volts e
em centímetros. A pergunta pede para encontrar o versor (ou seja, um vetor de direção com comprimento 1) da direção a partir de um ponto
onde a taxa de variação do potencial é máxima, além de determinar o valor dessa taxa máxima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de maior variação de uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o gradiente de uma função. O gradiente de
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior variação de
e cujo comprimento é a taxa máxima de variação de
. Matemáticamente, o gradiente é dado por:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente de
é:
Passo 5
Agora, para encontrar o versor da direção onde a taxa de variação do potencial é máxima, precisamos normalizar o gradiente. Ou seja, dividimos o gradiente pelo seu módulo (ou comprimento). O módulo do gradiente
é:
Passo 6
Portanto, o versor da direção de máxima variação é:
Passo 7
E o valor da taxa máxima de variação do potencial é simplesmente o módulo do gradiente
, que já calculamos:
Resposta
O versor da direção em que a taxa de variação do potencial é máxima é:
E o valor dessa taxa máxima de variação do potencial é:
Exercícios relacionados
Determine se o par de funções dadas é linearmente independente ou linearmente dependente:
Determine a equação da reta tangente à elipse
, que é paralela à reta
.
Calcule a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor normal à superfície
no mesmo ponto. Escolha o vetor normal que forma ângulo agudo com o vetor
.
Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo