Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o ponto realmente está no gráfico da função. Substituindo e na função:
Então, está no gráfico, tudo certo!

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante.

Passo 4

Vamos calcular o valor das derivadas parciais no ponto :

Passo 5

Com as derivadas parciais, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a reta normal ao gráfico no ponto . A reta normal é aquela que é perpendicular ao plano tangente. Para isso, usamos o vetor normal ao plano, que é dado pelas derivadas parciais:

Passo 7

Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever as equações paramétricas da reta normal:

Resposta

A equação do plano tangente no ponto é:
As equações paramétricas da reta normal são:
Onde é o parâmetro da reta.

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Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo