Determine se o par de funções dadas é linearmente independente ou linearmente dependente: f(theta) = cos(3 theta), g(theta) = 4 cos^3(theta) - 3 cos(theta)

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: precisamos determinar se o par de funções e é linearmente independente ou linearmente dependente. Para isso, vamos usar o conceito de independência linear de funções, que nos ajuda a saber se uma função pode ser expressa como uma combinação linear da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa duas funções serem linearmente dependentes. Duas funções e são linearmente dependentes se existirem constantes e , não ambas zero, tais que:
Se essa condição não for satisfeita, as funções são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos aplicar isso às nossas funções. Substituindo e :
Podemos reescrever essa equação agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes dos termos , e devem ser iguais a zero:

Passo 4

Resolvendo o sistema de equações:
  1. De .
  2. De , temos .
Como a única solução é e , as funções não satisfazem a condição de dependência linear. No entanto, observemos uma identidade trigonométrica importante:
Isso mostra que , ou seja, as duas funções são iguais.

Resposta

As funções são linearmente dependentes.

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