Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E duas condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem. Precisamos encontrar uma solução geral para a equação e depois ajustar essa solução às condições iniciais dadas.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação diferencial homogênea:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma:
Onde
é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo na equação:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 3
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Substituindo:
Passo 4
Com os valores de
complexos, sabemos que a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
. Então, nossa solução fica:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeira condição:
Segunda condição (derivada):
Primeiro, derivamos
:
Aplicando a segunda condição:
Passo 6
Agora, vamos resolver o sistema de equações para
e
. Sabemos que:
Substituindo nas equações:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo a segunda equação para
:
Agora, usando
na primeira equação:
Resposta
A solução do problema é:
ou simplificando:
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.
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.