Encontre a solução do problema de valor inicial dado:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E duas condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem. Precisamos encontrar uma solução geral para a equação e depois ajustar essa solução às condições iniciais dadas.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação diferencial homogênea:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma:
Onde é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo na equação:
Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 3

Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo:

Passo 4

Com os valores de complexos, sabemos que a solução geral da equação diferencial é:
Onde e . Então, nossa solução fica:

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeira condição:
Segunda condição (derivada):
Primeiro, derivamos :
Aplicando a segunda condição:

Passo 6

Agora, vamos resolver o sistema de equações para e . Sabemos que:
Substituindo nas equações:
Simplificando:

Passo 7

Resolvendo a segunda equação para :
Agora, usando na primeira equação:

Resposta

A solução do problema é:
ou simplificando:

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